Wahrscheinlichkeitswellen

Der scheinbare Widerspruch von Teilchen und Welle löst sich durch die sogenannte Kopenhagener Deutung der Quantenmechanik. Nach dieser beschreibt man dieses Verhalten durch Wahrscheinlichkeitswellen, d.h. jedem Teilchen ist in einer gegebenen physikalischen Situation für jeden Zeitpunkt $t$ und jeden Ort $x$ eine (komplexe) Wahrscheinlichkeitsamplitude $\psi (t,x)$ zugeordnet, deren Betragsquadrat gleich der Dichte der Aufenthaltswahrscheinlichkeit am Ort $x$ zum Zeitpunkt $t$ ist. Man spricht in diesem Zusammenhang auch von $\psi$ als der Wellenfunktion oder dem Zustand des quantenmechanischen Systems.

Ersichtlich ist jede Funktion, die sich von $\psi$um eine komplexe Konstante vom Betrag 1 unterscheidet, zu dieser äquivalent. Damit erhält man zu jedem Zeitpunkt $t$ die Aufenthaltswahrscheinlichkeit $P_{\psi }(G,t)$ in einem beliebigen Raumgebiet $G$, indem man die Wahrscheinlichkeitsdichte über $t$ integriert.

$$\psi :{ℝ}^4\to {ℝ}_{}{}_{}{}_{}\left(x,t\right)\mapsto \psi {\left(x,t\right)}_{}{}_{}{}_{}{P}_{\psi }\left(G,t\right)=\underset{G}{\int }{\left|\psi \left(x,t\right)\right|}^2\text{d}x$$

Dabei muss die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen im ganzen Raum zu finden, gleich 1 sein.

$$P_{\psi }\left({ℝ}^3,t\right)=\underset{{ℝ}^3}{\int }{\left|\psi \left(x,t\right)\right|}^2\text{d}x=1$$

D.h. insbesondere, $\psi$ muss quadratintegrabel bezüglich $x$ sein. Die Menge aller dieser Funktionen bildet den sogenannten Hilbert-Raum der quadratintegrablen Funktionen.