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Feinstruktur der Atomspektren

Relativistische Effekte

Betrachtet man das Bohr-Sommerfeld'sche Atommodell (Sommerfeld'sches Atommodell) des Wasserstoffatoms, stellt sich die Frage, ob hier auch relativistische Effekte wie die Massenzunahme mit zunehmender Geschwindigkeit zu berücksichtigen sind. Die Geschwindigkeit und die kinetische Energie des Elektrons sind zwar klein gegen die Lichtgeschwindgkeit bzw. Ruheenergie, aber die Effekte liegen in derselben Größenordnung wie die durch den Spin verursachte Feinstruktur. Sommerfeld hat diese Korrekturen berechnet.

Im Jahre 1928 stellte Paul Dirac die nach ihm benannte Gleichung auf, die diese relativistischen Effekte berücksichtigt und zugleich den Spin des Elektrons und die Spin-Bahn-Kopplung beschreibt. Sie liefert auch mit g s = 2   annähernd den richtigen Wert für den g-Faktor des Elektrons. Man erhält mit ihr dasselbe Resultat wie mit einer Störungsrechnung, die von der Schrödinger-Gleichung ausgeht und die Spin-Bahn-Kopplung und die relativistischen Effekte berücksichtigt.

Δ E FS = Δ E SB + Δ E Rel = m c 2 ( Z α ) 4 2 n 3 ( 1 j + 1 2 3 4 n ) Δ E F B =  Energie (Feinstruktur) Δ E S B =  Energie (Spin-Bahn-Kopplung) Δ E Rel =  Energie (relativistische Effekte) m =  Masse c =  Lichtgeschwindigkeit Z =  Kernladunszahl n =  Hauptquantenzahl α =  Feinstrukturkonstante

Interessanterweise stellt sich heraus, dass jetzt zwar die Entartung nach der Bahndrehimpulsquantenzahl l aufgehoben ist, dafür aber die Niveaus nach der Gesamtdrehimpulsquantenzahl j entartet sind.

Abb.1
Feinstruktur der Energieniveaus des Wasserstoffatoms

Die Feinstruktur der Energieniveaus des Wasserstoffatoms unter Einschluss der Spin-Bahn-Kopplung und der relativistischen Effekte, so wie sie die Dirac-Gleichung liefert. Der rechte Teil gibt einen Überblick und ist nicht maßstäblich, der linke stellt die Verhältnisse für n = 2 im Detail dar.

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