Das Bohr'sche Atommodell

Aufgrund von Experimenten hat Niels Bohr 1913 sein Modell des Wasserstoffatoms entwickelt. Es erinnert an das Planetensystem: Elektronen kreisen um den punktförmigen, positiv geladenen Atomkern, und zwar so, dass sich Zentrifugalkraft und Coulomb-Kraft die Waage halten. Diese Modellvorstellung stellt die klassische Physik allerdings vor unlösbare Probleme:

• Es sind klassisch Kreisbahnen mit beliebigem Radius möglich.
• Auf solchen Bahnen werden die Elektronen beschleunigt und müssen daher strahlen. Sie verlieren dabei Energie und strahlen ein kontiniuerliches Spektrum aus.

Bohr überwand nun diese Schwierigkeiten, indem er annahm, dass sich die Elektronen nur auf bestimmten Kreisbahnen bewegen dürfen, und zwar auf solchen, auf denen ihr Drehimpuls $L$ ein ganzzahliges Vielfaches von $h/2\text{π}$ beträgt:

$$L=pr=\frac{nh}{2\text{π}}\begin{array}{l}p=\text{ Impuls}\\ r=\text{ Radius}\\ n=\mathrm{1,2,3,...}=\text{ Hauptquantenzahl}\\ h=\text{ Planck'sches Wirkungsquantum}\end{array}$$

Bohr erhielt diese Quantisierungsbedingung, indem er annahm, dass für große $n$ die Umlauffrequenz der Elektronen gleich der Frequenz des Übergangs zweier benachbarter Energieniveaus $E_{2\text{, }}{E}_1$nach der Rydberg-Formel wird. Strahlungsübergänge sind nur zwischen zwei solchen Bahnen möglich und gemäß Max Planck Licht bestimmter Frequenz $\nu$:

$$hv=E_2-E_1$$

Die zu den Bahnen gehörenden Energien lassen sich anhand dieser Postulate (Bohr'sche Postulate) berechnen und damit auch die Übergangsenergien bzw. -frequenzen. Daraus ergibt sich die Rydberg-Formel:

$$v_{m\to n}=R_{\text{H}}\left(\frac{1}{n^2}-\frac{1}{m^2}\right)$$

wobei die Quantenzahl $m>n$ ist. $R_{\text{H}}$ ist die Rydberg-Konstante, die in der Spektroskopie eine große Rolle spielt und hier in Hertz $\text{Hz}$angegeben ist:

$$R_{\text{H}}=\frac{\mu e^4}{8{\epsilon }_0^2{h}^3}=\mathrm{3,2898423}\cdot {10}^{15}\text{Hz}$$

Dabei ist $\mu$ die reduzierte Masse des Elektrons, $e$ die Elementarladung, ${\epsilon }_0$ die absolute Dielektrizitätskonstante des Vakuums und $h$ das Planck'sche Wirkungsquantum.

Damit kann das Spektrum des Wasserstoffes vollständig beschrieben werden, denn alle Spektrallinien entstehen durch Übergänge zwischen diesen berechneten Energieniveaus. Das Wasserstoffspektrum setzt sich aus einzelnen Serien zusammen, deren wichtigste nach Lyman, Johann Balmer, Friedrich Paschen, Brackett und Pfund benannt sind (entsprechend $n$ = 1, 2, 3, 4, 5).

Den wichtigen Spezialfall $n=2$hat Balmer bereits 1885 angegeben. Seine Formel wurde von Rydberg 1890 erweitert und wird durch das Bohr'sche Atommodell erklärt. Die Zahlen $m$ und $n$ werden auch Hauptquantenzahlen genannt (siehe Quantenzahlen).

In der Rydberg-Konstanten taucht statt der Masse $m_{\text{e}}$ des Elektrons die reduzierte Masse $\mu$auf. Dies hat seinen Grund darin, dass das Proton nicht unendlich schwer ist, sondern eine endliche Masse $m_{\text{p}}\approx 1836m_{\text{e}}$hat. Daher muss auch noch die kinetische Energie des Protons berücksichtigt werden. Es gilt:

$$\frac{1}{\mu }=\frac{1}{m_{\text{e}}}+\frac{1}{m_{\text{p}}}$$

Damit erhält man eine gute Übereinstimmung mit den beobachteten Werten. Für hohe Genauigkeiten muss noch eine Reihe von Effekten berücksichtigt werden, die unter Feinstruktur und Hyperfeinstruktur zusammenfasst werden.