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Quantenchemische Beschreibung

Lösungen

Physikalisch sinnvolle Lösungen dieser Differentialgleichung müssen bestimmte Bedingungen erfüllen:

  • Die Lösungen ψ(x,y,z) muss stetig sein und überall einen bestimmten endlichen Wert besitzen.
  • Die Geamtwahrscheinlichkeit, das betreffende Teilchen irgendwo im Raum anzutreffen, muss gleich 1 sein.
  • Die Randbedingungen für das spezielle Problem müssen bei der Lösung der Schrödinger-Gleichung berücksichtigt werden. Erst durch die Einführung der Randbedingungen ergibt sich die Quantisierung der Energieniveaus (Energieeigenwerte E n ) und der Eigenfunktionen ψ n .

Unter diesen Bedingungen kann die Gesamtenergie E nur ganz bestimmte Werte annehmen, die durch die Eigenfunktionen, das sind die Lösungen der Schrödinger-Gleichung, festgelegt sind. Als Beispiel soll die Lösung der Schrödinger-Gleichung für

  • ein Elektron in einem eindimensionalen Potentialkasten
  • Verallgemeinerung auf drei Raumrichtungen (x,y,z)

in allen Detaills betrachtet werden. Arbeiten Sie das Beispiel gut durch, damit Sie eine Vorstellung von der Verfahrensweise zur Lösung der Schrödinger-Gleichung entwickeln können. Dies ist einfacher als Sie zunächst annehmen! Behalten Sie bei Ihren Betrachtungen im Auge, dass wir den Aufenthaltsort des Elektrons nicht mehr exakt beschreiben können (Heisenbergsche Unschärferelation) und dass wir bereits bei der Herleitung der Schrödinger-Gleichung aus der Schwingungsdifferentialgleichung die De Broglie-Beziehung über Materiewellen berücksichtigt haben.

Die Schrödinger-Gleichung lässt sich nur auf das Wasserstoff-Atom (ein Elektron unter dem Einfluss des Kerns) exakt anwenden. Da es sich beim Elektron im Feld eines Protons um ein zentralsymmetrisches Problem handelt, transformiert man die Schrödinger-Gleichung zweckmäßigerweise vom kathesischen Koordinatensystem in das Kugelkoordinatensystem:

Abb.1

Ein Raumpunkt P wird im karthesischen Koordinatensystem eindeutig beschrieben durch die Angaben der Raumkoordinaten x, y und z. Äquivalent ist die Beschreibung der Lage des Raumpunktes durch die Angaben von r, φ und θ. In Polarkoordinaten transformiert, lassen sich Lösungen der Form:

Χ ( x , y , z) R(r) Φ ( φ ) Θ ( θ ) radiusabhängiger Teil winkelabhängiger Teil χ ( φ , θ ) ( s)= 1 4 π χ ( φ ´, θ ) ( p x ) = 3 4 π cos φ sin θ χ ( φ , θ ) ( p y ) = 3 4 π sin φ sin θ χ ( φ , θ ) ( p z ) = 3 4 π cos θ

finden. Die Quadrate der Lösungen beschreiben räumliche Bereiche, die die möglichen Aufenthaltsorte des Elektrons wiedergeben. Man bezeichnet diese als Orbitale. Gleichzeitig lässt sich für jedes Orbital ein zugehöriger Energiezustand (Eigenwert) berechnen.

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