Die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung
Für stehende Wellen ist die Amplitude
zeitunabhängig. Sie hängt nur noch von
Ort (x, y, z) ab. Sie können durch die
trigonometrische Funktion:
beschrieben werden, wobei
die von der Zeit unabhängige Amplitude bedeutet. Wir leiten diese Funktion
zweimal partiell nach jeder Variablen ab:
und setzen die erhaltenen Ausdrücke in die Wellengleichung ein:
Nun gilt nach de Broglie:
Diesen Ausdruck können wir in die Wellengleichung einsetzen:
Für können wir schließlich einsetzen. Für die kinetische Energie gilt:
Durch einsetzen in die Wellengleichung ergibt sich:
Wenn man mit E die Gesamtenergie und mit U die potentielle Energie bezeichnet,
erhält man:
Dies ist die zeitunabhängige
Schrödinger-Gleichung. Sie beschreibt dreidimensionale Materiewellen in
atomaren Systemen. Für die Chemie ist sie für das Verhalten der Elektronen
im Atom von Interesse. Lösungen der Schrödinger-Gleichung entsprechen den
stationären Zuständen des Systems
(Eigenwerte).