Die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung

Für stehende Wellen ist die Amplitude zeitunabhängig. Sie hängt nur noch von Ort (x, y, z) ab. Sie können durch die trigonometrische Funktion:

$$\text{u}\text{(x,y,z,t)}=\psi \text{(x,y,z)}\cdot sin\text{(2π⋅ν⋅t)}$$

beschrieben werden, wobei

$$\psi \left(\text{x,y,z}\right)$$

die von der Zeit unabhängige Amplitude bedeutet. Wir leiten diese Funktion zweimal partiell nach jeder Variablen ab:

$$\begin{array}{l}{\left(\frac{{\partial }^2\text{u}}{\partial {\text{x}}^{\text{2}}}\right)}_{y,z,t}=\left(\frac{{\partial }^2\psi }{\partial {\text{x}}^{\text{2}}}\right)\cdot sin\left(2\pi \cdot \nu \cdot t\right)\\ {\left(\frac{{\partial }^2\text{u}}{\partial y^{\text{2}}}\right)}_{x,z,t}=\left(\frac{{\partial }^2\psi }{\partial y^{\text{2}}}\right)\cdot sin(2\pi \cdot \nu \cdot t)\\ {\left(\frac{{\partial }^2\text{u}}{\partial z^{\text{2}}}\right)}_{x,y,t}=\left(\frac{{\partial }^2\psi }{\partial z^{\text{2}}}\right)\cdot sin(2\pi \cdot \nu \cdot t)\\ {\left(\frac{{\partial }^2\text{u}}{\partial t^{\text{2}}}\right)}_{x,y,z}=\psi \cdot \frac{{\partial }^2\left[sin\left(2\pi \cdot \nu \cdot t\right)\right]}{\partial t^2}=-4{\pi }^2\cdot {\nu }^2\cdot \psi \cdot sin(2\pi \cdot \nu \cdot t)\end{array}$$

und setzen die erhaltenen Ausdrücke in die Wellengleichung ein:

$$\begin{array}{l}\left(\frac{{\partial }^2\psi }{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2\psi }{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2\psi }{\partial z^2}\right)\cdot sin\left(2\pi \cdot \nu \cdot t\right)=-\frac{4{\pi }^2\cdot {\nu }^2}{{\text{v}}^{\text{2}}}\cdot \psi \cdot sin\left(2\pi \cdot \nu \cdot t\right)\\ \frac{{\partial }^2\psi }{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2\psi }{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2\psi }{\partial z^2}+\frac{4{\pi }^2\cdot {\nu }^2}{{\text{v}}^{\text{2}}}\cdot \psi =0\end{array}$$

Nun gilt nach de Broglie:

$${\lambda }_M=\frac{\text{h}}{\text{m}\cdot \text{v}}=\frac{\text{v}}{\nu }\Rightarrow \frac{{\nu }^2}{{\text{v}}^{\text{2}}}=\frac{{\text{m}}^{\text{2}}\cdot {\text{v}}^{\text{2}}}{{\text{h}}^{\text{2}}}$$

Diesen Ausdruck können wir in die Wellengleichung einsetzen:

$$\frac{{\partial }^2\psi }{\partial {\text{x}}^{\text{2}}}+\frac{{\partial }^2\psi }{\partial {\text{y}}^{\text{2}}}+\frac{{\partial }^2\psi }{\partial {\text{z}}^{\text{2}}}+\frac{4{\pi }^2\cdot {\text{m}}^{\text{2}}\cdot {\text{v}}^{\text{2}}}{{\text{h}}^{\text{2}}}\cdot \psi =0$$

Für $\text{m·}{\text{v}}^2$ können wir schließlich $2·{\text{E}}_{\text{kin}}$ einsetzen. Für die kinetische Energie gilt:

$${\text{E}}_{\text{kin}}={\text{E}}_{\text{gesamt}}-{\text{E}}_{\text{pot}}$$

Durch einsetzen in die Wellengleichung ergibt sich:

$$\frac{{\partial }^2\psi }{\partial {\text{x}}^{\text{2}}}+\frac{{\partial }^2\psi }{\partial {\text{y}}^{\text{2}}}+\frac{{\partial }^2\psi }{\partial {\text{z}}^{\text{2}}}+\frac{8{\pi }^2\cdot \text{m}}{{\text{h}}^{\text{2}}}\cdot \left({\text{E}}_{\text{gesamt}}-{\text{E}}_{\text{pot}}\right)\cdot \psi =0\begin{array}{ll}{\text{E}}_{\text{gesamt}}& \equiv \text{E}\\ {\text{E}}_{\text{pot}}& \equiv U\end{array}$$

Wenn man mit E die Gesamtenergie und mit U die potentielle Energie bezeichnet, erhält man:

$$\begin{array}{||}\hline \frac{{\partial }^2\psi }{\partial {\text{x}}^{\text{2}}}+\frac{{\partial }^2\psi }{\partial {\text{y}}^{\text{2}}}+\frac{{\partial }^2\psi }{\partial {\text{z}}^{\text{2}}}+\frac{8{\pi }^2\cdot \text{m}}{{\text{h}}^{\text{2}}}\cdot \left(\text{E}-\text{U}\right)\cdot \psi =0\\ \hline\end{array}$$

$$\begin{array}{ll}\text{x,y,z}& \text{: Raumkoordinaten}\\ \text{m}& \text{: Masse des Teilchens}\\ \text{E}& \text{: Gesamtenergie}\\ \text{U}& \text{: potentielle Energie}\\ \text{h}& \text{: Plancksches Wirkungsquantum}\\ \text{ψ}& \text{: Wellenfunktion (entspricht der Amplitude bei Transversalwellen)}\end{array}$$

Dies ist die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung. Sie beschreibt dreidimensionale Materiewellen in atomaren Systemen. Für die Chemie ist sie für das Verhalten der Elektronen im Atom von Interesse. Lösungen der Schrödinger-Gleichung entsprechen den stationären Zuständen des Systems (Eigenwerte).