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Quantenchemische Beschreibung

Schwingungsmoden einer rechteckig eingespannten Membran

Schwingungsgleichung für den zweidimensionalen Fall
2 Ψ t 2 = c 2 ( 2 Ψ x 2 + 2 Ψ y 2 ) (1)

Wendet man die Schwingungsgleichung für den zweidimensionalen Fall (1) auf die Schwingung einer rechteckig eingespannten Membran an, so ergeben sich - ebenso wie bei der kreisförmig eingespannten Membran - durch die festgelegten Randbedingungen des Problems (keine Auslenkung der Membran zu keinem Zeitpunkt am eingespannten Rand) - stationäre Lösungen, die zwei Quantenzahlen besitzen. Jeweils eine halbe Wellenlänge muss in die Seiten a und b mindestens passen, damit die Radbedingung erfüllt ist. Die Quantenzahl l zeigt die Anzahl der Knotengeraden in x-Richtung, die Quantenzahl m steht für die Anzahl der Knotengeraden in y-Richtung. Knotengeraden sind Linien auf der Membran, die zu keinem Zeitpunkt eine Auslenkung erfahren.

Der einfachste Fall ist der, bei dem die gesamte Membranfläche schwingt. Hier existieren keine Knotenlinien, sieht man davon ab, dass die Randbegrenzung der Membran zeitlich unveränderlich ist.

Abb.1
Quantenzahlen l, m: 0, 0

Animation

Im Falle des ersten Obertons, also bei einer Knotenlinie, ergeben sich zwei Möglichkeiten: Es kann sich um eine Knotengerade auf der x-Koordinate (Quantenzahlen l,m: 1,0) oder um eine Knotengerade auf der y-Koordinate (Quantenzahlen l,m: 0,1) handeln.

Abb.2
Quantenzahlen l, m: 0, 1

Animation

Die folgenden Abbildungen sind zwei weitere Beispiele für einige Schwingungsmoden der rechteckig eingespannten Membran.

Abb.3
Quantenzahlen l, m: 1, 1

Animation

Abb.4
Quantenzahlen l, m: 2, 4

Animation

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