Allgemeine Beschreibung von Wellen

Die Abbildung zeigt eine Schwingung mit ihren üblichen Bezeichnungen.

Die Größe u ist die Elongation (Auslenkung) und ist im Allgemeinfall sowohl vom Ort x als auch von der Zeit t abhängig. Der Maximalwert der Elongation heißt Amplitude A.

Harmonische Schwingungen sind solche, die in Systemen auftreten, für die das Hooke'sche Gesetz gilt:

Hinweis

Die rücktreibende Kraft ist proportional der Elongation (Auslenkung aus der Ruhelage):

$\text{F}=\text{konst}\cdot \text{u}$

Schwingungen in elastischen Systemen pflanzen sich räumlich fort (v = Fortpflanzungsgeschwindigkeit). Die Elongation u ist deshalb eine Funktion des Ortes und der Zeit.

$$\begin{array}{ll}\text{eindimensionaler Fall}& :\text{u}=\text{u}\left(\text{x,t}\right)\\ \text{zweidimensionaler Fall}& :\text{u}=\text{u}\left(\text{x,y,t}\right)\\ \text{dreidimensionaler Fall}& :\text{u}=\text{u}\left(\text{x,y,z,t}\right)\end{array}$$

Harmonische Wellen können mathematisch mittels der Schwingungsgleichung beschrieben werden. Im eindimensionalen Fall gilt:

$$\left(\frac{{\partial }^2\text{u}}{\partial {\text{x}}^{\text{2}}}\right)=\frac{1}{{\text{v}}^{\text{2}}}\left(\frac{{\partial }^2\text{u}}{\partial {\text{t}}^{\text{2}}}\right)$$

Lösungen dieser Differentialgleichung sind alle Funktionen u(x,t), die die Differentialgleichung erfüllen. Zum Beispiel ist

$$\text{u}=\text{A}\cdot {\text{e}}^{\text{i}\overline{\omega }\left(\text{t-}\frac{\text{x}}{\text{v}}\right)}$$

eine solche Lösung. Sie stellt die Gleichung einer harmonischen Welle mit der Amplitude A, der Kreisfrequenz ω und der Fortpflanzungsgeschwindigkeit v dar.

Für Schwingungen von zweidimensionalen Systemen (Flächenwellen) gilt entsprechend für die zwei Ortskoordinaten x, y;

$${\left(\frac{{\partial }^2\text{u}}{\partial {\text{x}}^{\text{2}}}\right)}_y+{\left(\frac{{\partial }^2\text{u}}{\partial {\text{y}}^{\text{2}}}\right)}_x=\frac{1}{{\text{v}}^{\text{2}}}\left(\frac{{\partial }^2\text{u}}{\partial t^{\text{2}}}\right)$$

und für die dreidimensionalen Systeme (Raumwellen, Kugelwellen):

$${\left(\frac{{\partial }^2\text{u}}{\partial {\text{x}}^{\text{2}}}\right)}_{y,z}+{\left(\frac{{\partial }^2\text{u}}{\partial {\text{y}}^{\text{2}}}\right)}_{x,z}+{\left(\frac{{\partial }^2\text{u}}{\partial z^{\text{2}}}\right)}_{x,y}=\frac{1}{{\text{v}}^{\text{2}}}\left(\frac{{\partial }^2\text{u}}{\partial t^{\text{2}}}\right)$$