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Modellierung realer Systeme

Momentenmethode

Bei der Verweilzeit handelt es sich um eine Wahrscheinlichkeitsverteilung. Sie lässt sich deshalb auch mathematisch-theoretisch beschreiben. Die dazu in der Statistik herangezogenen Werte werden Momente genannt. Ist x eine Zufallsgröße, wird der Erwartungswert x k das Moment k-ter Ordnung genannt. Momente werden mit M k ( x ) bezeichnet.

Momente benötigen einen Wert, auf den sie sich beziehen. Man unterscheidet Anfangsmomente und Zentralmomente. Sie unterscheiden sich in ihrem Bezugswert. Um Anfangs-und Zentralmomente zu unterscheiden, werden Anfangsmomente zusätzlich mit einem * gekennzeichnet.

Für die Anfangsmomente M k * dient der Koordinatenursprung als Bezugswert, während sich die Zentralmomente M k auf den Mittel- oder Erwartungswert beziehen. Der Wert für k gibt an, welche Größe berechnet wird.

Die berechneten Werte geben je nach k-Wert

  • für k=1 die Entfernung des Mittel- oder Erwartungswerts µ vom Bezugswert,
  • für k=2 die Streuung s² um den Bezugswert,
  • für k=3 die Schiefe oder
  • für k=4 die Wölbung

an.

Interessant sind für die Charakterisierung der Verweilzeit mit diesem Modell nur das erste Anfangsmoment M 1 * und das zweite Zentralmoment M 2 .

Ist die Zeit der Laufparameter, dann ist das erste Anfangsmoment M 1 * die mittlere Verweilzeit. Der Mittelwert wird hier mit µ bezeichnet. Das zweite Zentralmoment M 2 mit Bezug auf das erste Anfangsmoment µ, also den Mittelwert, gibt die Varianz σ 2 - die Streuung um den Mittelwert – an.

μ = [ t i c ( t i ) Δ t i ] [ c ( t i ) Δ t i ]
σ 2 = [ ( t i μ ) 2 c ( t i ) Δ t i ] [ c ( t i ) Δ t i ]
Tab.1
Legende
SymbolErläuterungEinheit
t i Zeit an der i-ten Stützstelle s
c ( t i ) Konzentration an der i-ten Stützstelle mol l 1
μ Mittelwert der Verweilzeit s
Δ t i Zeitintervall zwischen zwei Stützstellen s
σ 2 Varianz Streuung um den Mittelwert s 2

Ist Δt konstant, so vereinfachen sich die Terme zu:

μ = [ t i c ( t i ) ] [ c ( t i ) ]
σ 2 = [ t i 2 c ( t i ) ] [ c ( t i ) ] μ 2

Bezieht man die Varianz σ 2 auf Θ mit

σ Θ 2 = σ 2 τ 2
Tab.2
Legende
SymbolErläuterungEinheit
τ mittlere Verweilzeit s
σ 2 Varianz Streuung um den Mittelwert s 2
σ Θ 2 auf Θ bezogene Varianz

so erhält man den prozentualen Bruchteil der Rückvermischung. Es ergeben sich demnach für die Grenzfälle der Strömungsverhältnisse folgende Werte:

σ Θ 2 für den idealen Rührkessel = 1 (totale Rückvermischung)

σ Θ 2 für das ideale Strömungsrohr = 0 (keine Rückvermischung)

Für reale Reaktoren besitzt σ Θ 2 Werte zwischen 0 und 1. Je näher ein Wert an 0 (bzw. 1) liegt, desto mehr besitzt der Reaktor das Verhalten eines idealen Strömungsrohrs (bzw. eines idealen Rührkessels).

Herleitung

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