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Modellierung realer Systeme

Kaskadenmodell

Das Kaskadenmodell beschreibt einen realen Reaktor durch eine theoretische Anzahl N von idealen Rührkesseln, die in Reihe geschaltet sind.

Abb.1: Kaskadenmodell

Dabei muss gelten:

Die Kessel sind volumengleich, das Reaktionsvolumen darf sich nicht ändern
Eine Rückvermischung zwischen den einzelnen Kesseln ist ausgeschlossen

Der Parameter N kann zwischen 1 und ∞ liegen, darf aber nur ganze Werte annehmen. Die Extremzustände charakterisieren sich durch

N = 1 - vollständige Durchmischung (idealer Rührkessel)

N = ∞ - keine axiale Rückvermischung (ideales Strömungsrohr)

Bei endlichem N mit endlicher Rückvermischung kann das Verweilzeitverhalten über die Bilanz berechnet werden. Die Bilanz über den i-ten Kessel lautet:

\frac{1}{N} \cdot \frac{d c}{d Θ} = c_{i - 1} - c_{i}

Tab.1: Legende

Symbol	Erläuterung	Einheit
$N$	Gesamtkesselzahl	$-$
$c_{i}$	Konzentration im i-ten Kessel	$mol \cdot l^{- 1}$
$Θ$	auf t bezogene mittlere Verweilzeit	$-$

Die E(Θ)-Funktion lässt sich daraus berechnen und lautet für den letzten – den n-ten Kessel:

E (Θ) = \frac{c_{N} (Θ)}{c_{0}} = \frac{N^{N}}{(N - 1)!} \cdot Θ^{N - 1} \cdot e^{- N \cdot Θ}

Tab.2: Legende

Symbol	Erläuterung	Einheit
$c_{0}$	Eintrittskonzentration im 1. Kessel	$mol \cdot l^{- 1}$
$c_{N}$	Austrittskonzentration im N-ten Kessel	$mol \cdot l^{- 1}$
$N$	Gesamtkesselzahl	$-$
$Θ$	auf t bezogene mittlere Verweilzeit	$-$
$E (Θ)$	Verweilzeit-Dichtefunktion	$-$

Grafisch ergibt sich eine E(Θ)-Funktion, deren Maximum mit zunehmender Kesselzahl ansteigt und sich in Richtung Θ = 1 verschiebt. Da die Fläche unter der Kurve gleich 1 ist, muss die Kurve schmaler werden, so dass sie sich immer mehr der für das ideale Strömungsrohr anpasst.