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Verweilzeitverhalten - Grundlagen

Summen- und Dichtefunktion

Das aus einer Verweilzeitmessung erhaltene Detektorsignal zeigt das Verweilzeit-Summenspektrum. Dieses wird durch die Verweilzeit-Summenfunktion F(t) beschrieben und bezeichnet den Volumenbruchteil, der von Beginn der Zugabe bis zum Zeitpunkt t der Messung den Reaktor durchströmt hat. Sie ist somit ein Maß für die Wahrscheinlichkeit, dass ein Volumenelement den Reaktor im Zeitintervall dt wieder verlassen hat.

Es gilt

F ( 0 ) = 0

da kein Volumenelement den Reaktor in der Zeit null durchströmen kann. Es gilt weiterhin

F ( ) = 1

da kein Volumenelement unendlich lange im Reaktor verbleiben kann.

Abb.1
Summenfunktion

Den Volumenbruchteil, der den Reaktor in einem Zeitintervall zwischen t und t+ dt verlässt, erhält man aus dem Differential der Verweilzeit-Summenfunktion dF(t). Das daraus erhaltene Spektrum wird als Verweilzeitspektrum, die zugehörige Funktion als Verweilzeit-Dichtefunktion E(t) bezeichnet.

Dementsprechend gilt:

d F ( t ) = E ( t ) d t
Tab.1
Legende
SymbolErläuterungEinheit
t Zeit s
F ( t ) Verweilzeit-Summenfunktion
E ( t ) Verweilzeit-Dichtefunktion

Aus der Multiplikation der Zeit t mit dem den Reaktor im Zeitintervall zwischen t und t + dt verlassenden Volumenbruchteil dF(t) erhält man nach Integration aller dieser Produkte die mittlere Verweilzeit τ:

τ = 0 1 t d F ( t )

beziehungsweise

τ = 0 t E ( t ) d t
Tab.2
Legende
SymbolErläuterungEinheit
τ mittlere Verweilzeit s
t aktuelle Zeit s
E(t) Verweilzeit-Dichtefunktion
F(t) Verweilzeit-Summenfunktion
Abb.2
Dichtefunktion

Herleitung: Dichtefunktion

Herleitung: Summenfunktion

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