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Elektron als Materiewelle

Beispiele zur Heisenberg'schen Unschärferelation

Gemäß der Heisenberg'sche Unschärferelation

Δ x p x = Δ x Δ c x m 1 2

resultiert für Δ x = 600 nm und eine Masse von m = 1 g die Geschwindigkeitsunschärfe Δ c x = 1.1 10 -24 m/s . Verringert sich die Masse auf m = 10 -27 g , so vergrößert sich die Geschwindigkeitsunschärfe bei gleicher Ortsunschärfe auf Δ c x = 1.1 10 3 m/s .

Als weiteres Bespiel setzen wir an, dass die Geschwindigkeitskomponente c x eines atomaren Teilchens auf ± 100 α % genau ist, d. h c x liegt im Intervall [ c x + α c x , c x - α c x ] . Dementsprechend setzen wir Δ c x = 2 α c x an, so dass mit λ = h / m c x folgt:

Δ x Δ p x = Δ x 2 α h m λ m 2 .

Umformung ergibt

Δ x λ 8 π α λ 25 α .

Für α = 0.04 folgt daraus Δ x λ , d. h. die Ortsunschärfe des Teilchens ist größer/gleich der de Broglie-Wellenlänge bei der gegebenen Geschwindigkeit. Hier stellt sich die Frage, wonach sich die aktuelle Größe von Δ x und Δ p x richtet. Zur Beantwortung betrachten wir ein einfaches Beispiel. Ein Elektronenstrahl passiert in einer Vakuumapparatur einen Spalt der Breite S .

Abb.1
Ein Elektronenstrahlexperiment.

Durch geeignete Blenden ist der Strahl scharf und genau senkrecht zum Detektorschirm ausgerichtet. Der Spalt befindet sich in der Mitte bei y = 0 , seine Breite S kann der Experimentator verschieden einstellen! Was können wir unter diesen Bedingungen über die y -Koordinate eines Elektrons sagen, das den Spalt passiert hat? Offensichtlich sind alle Werte möglich, die im y -Intervall [ 0 + ½ S , 0 - ½ S ] liegen, d. h. es gilt Δ y = S . Wählen wir eine sehr kleine Spaltbreite, so besteht eine geringe Unschärfe der y -Ortsangabe am Spaltort. Dann aber muss die Unschärfe Δ p y entsprechend groß sein! Wir können also nicht erwarten, dass die passierenden Elektronen alle bei y = 0 auf die Detektorwand treffen! Die Breite B der y -Verteilung auf dem Detektorschirm lässt sich abschätzen, wenn die Geschwindigkeit c x und damit die Flugzeit zwischen Spalt und Detektorschirm bekannt ist.

Impulsunschärfe Δ p y = / 2 S = m Δ c y Flugzeit t = a / c x Detektor, y-Breite B = Δ c y t

Es folgt

B = t 2 m s = a 2 m c x S .

Wählen wir andererseits eine große Spaltbreite, so ist die y -Ortsunschärfe groß und die Impulsunschärfe Δ p y entsprechend klein! Wieder stellen wir auf der Detektorwand eine y -Verteilung der ankommenden Elektronen fest, jetzt allerdings mit der Breite B von etwa S . Je größer S wird, umso größer wird B . Es ist damit klar, dass ½ in der Heisenbergschen Unschärferelation nur eine untere Grenze darstellt.

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