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Elektron als Materiewelle

Heisenberg'sche Unschärferelation

Für die folgenden Überlegungen stelle man sich eine Materiewelle als Wellenpaket vor. Seine Merkmale zeigt (Abb. 1) .

Abb.1
Momentaufnahme eines Wellenpakets zur Zeit t 0 (schematisch).

Der Mittelpunkt des Wellenpakets befindet sich zur Zeit t = 0 bei x = 0 . Δ x ist die Paketbreite auf halber Höhe der maximalen Elongation bei x = 0 und stellt ein Maß für die Unschärfe des Ortes des Teilchens dar. Die Wellenlänge λ 0 errechnet sich nach der De-Broglie-Gleichung. Mathematisch gesehen entsteht ein solches Wellenpaket durch Überlagerung unendlich vieler Wellen A k exp ( i k x ) , deren Amplituden A k sich glockenförmig um den Wert k 0 = 2 π / λ 0 verteilen. Diese Verteilungskurve definiert auf halber Höhe eine Breite Δ k . Es zeigt sich, dass zwischen Δ x und Δ k ein inverser Zusammenhang besteht. Verkleinern wir Δ x , vergrößert sich Δ k und umgekehrt. Die einfachste Formulierung dafür ist Δ x Δ k = C , in der C eine Konstante darstellt.

Nach de Broglie gilt weiterhin k = ( 2 π / λ 0 ) = ( 2 π p x / h ) = ( p x / ) und entsprechend Δ k = ( Δ p x / ) . Damit entsteht folgender Zusammenhang zwischen Orts- und Impulsunschärfe:

Δ x Δ p x = C

Das Welle-Teilchen-Verhalten des Elektrons lässt somit folgende qualitative Konsequenz erkennen:

  • Ist die Ortsunschärfe eines Teilchens Δ x groß, so ist seine Impulsunschärfe Δ p x klein.
  • Ist die Ortsunschärfe Δ x eines Teilchens klein, so ist seine Impulsunschärfe Δ p x groß.

Es scheint demnach unmöglich, Ort und Impuls eines Elektrons gleichzeitig genau zu bestimmen! Es war Werner Heisenberg, der sie als erster deutlich aussprach und theoretisch bewies (siehe Z. Phys. 43, 172 (1927)). Dies gelang ihm mit einem 1926 entwickelten neuen Ansatz zur theoretischen Beschreibung atomarer Vorgänge, die fortan als Quantenmechanik bezeichnet wurde. Für diese Arbeiten erhielt er den Nobelpreis für Physik des Jahres 1932.

Unschärfe

Für ein tieferes Verständnis ist als Nächstes zu klären, was unter der Unschärfe einer physikalischen Größe genau zu verstehen ist? Hier hilft uns die Messtechnik. Wir stellen uns N Messwerte x 1 , x 2 , , x N für eine physikalische Größe x vor. Der Mittelwert, hier mit x bezeichnet, lässt nicht erkennen, wie groß die Streuung der Messwerte ist. Die grafische Darstellung der Messwerte dagegen zeigt unmittelbar die Qualität der Messung.

Abb.2
Streuung von Messwerten.

Sofort sehen wir, dass der Mittelwert der links gezeigten Messwerte wesentlich ungenauer oder unschärfer bestimmt ist als der der rechten. Eine Kennzahl dafür ist die Varianz Δ x 2 =: σ 2 der Messwerte.

x = 1 N n = 1 N x n x 2 = 1 N n = 1 N x n 2 Δ x 2 = 1 N n = 1 N ( x n - x ) 2 = 1 N n = 1 N x n 2 - 2 x 1 N n = 1 N x n + 1 N n = 1 N x 2 = x 2 - 2 x 2 + x 2 = x 2 - x 2

Die Wurzel der Varianz ist ein quantitatives Maß für die Unschärfe einer Messung und vergleichbar mit den oben in qualitativer Weise eingeführten Größen Δ x und Δ p x .

Heisenberg'sche Ansatz

Mit seiner neuen Theorie konnte Heisenberg berechnen, dass die Varianz von Orts- und Impulsmessungen die folgende Bedingung erfüllen muss:

Δ x 2 Δ p x 2 2 4 .

Mit Δ x 2 =: Δ x und Δ p x 2 =: Δ p x folgt daraus für das oben eingeführte Produkt der Orts- und Impulsunschärfe

Δ x Δ p x 1 2 .

Die Ungleichung besagt, dass das Produkt von Orts- und Impulsunschärfe in x -Richtung den Wert ½ nicht unterschreiten kann. Diese Bedingung gilt ebenso für die y - und z -Richtung. Weiterhin zeigte Heisenberg, dass die Unschärferelation auch für alle Paare physikalischer Größen gilt, deren Produkt die Dimension einer Wirkung hat, also J s . Ein wichtiges Beispiel ist das Paar Δ E Δt . Δ E ist die Energieunschärfe eines atomaren Systems, das sich für die Zeit Δt in einem Zustand der Energie E befindet. Diese Zeit wird auch als Lebensdauer des Zustands bezeichnet. Liegt ein stationärer Zustand vor, d. h. gilt Δt , so ist die Energieunschärfe unendlich klein, d. h die Energie ist scharf bestimmt. Dies trifft für den Grundzustand von Atomen und Molekülen zu. Angeregte Zustände haben in der Regel nur eine kurze Lebendauer.

Heisenberg'sche Unschärferelation - Zusammenfassung

Ort und Impuls: Δ x p x ½ Δ y p y ½ Δ z p z ½ Energie und Lebensdauer: Δ E Δt ½

Für ein Teilchen besteht demnach eine große Unschärfe des Impulses, wenn der Ort sehr scharf spezifiziert ist (sehr kleines Δ x ). Umgekehrt ist der Ort unscharf, wenn der Impuls scharf festgelegt ist.

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