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Elektron als Materiewelle

Wellenfunktion und Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion

Das Doppelspalt-Ergebnis lautet zusammengefasst: Ein Elektron trifft nach Passieren des Doppelspalts auf den Detektorschirm und wirkt dort wie ein Teilchen. Die Wahrscheinlichkeit seines Eintreffens an der Stelle ( x , y ) entspricht der Intensitätsverteilung zweier interferierender Wellen. Für die mathematische Formulierung dieses Verhaltens sind zwei Funktionen eingeführt worden, die im Folgenden beschrieben sind.

Die Wellenfunktion Ψ der Materiewelle

Ein Elektron befindet sich in einem System, das aus einem Doppelspalt bei z = 0 und einem Detektorschirm bei z = s besteht. In diesem System kann das Elektron prinzipiell zwei Zustände einnehmen, die wir durch die Funktionen Ψ 1 ( x , y , z , t ) und Ψ 2 ( x , y , z , t ) kennzeichnen.

Ψ 1 ( x , y , z , t ) beschreibt den Weg des Elektrons durch Spalt 1 Ψ 2 ( x , y , z , t ) beschreibt den Weg des Elektrons durch Spalt 2

Die Funktionen Ψ 1 und Ψ 2 sind reelle oder komplexe Funktionen. Sie werden als Wellenfunktion (der Materie) bezeichnet und entsprechen der Elongation E ( x , y , z , t ) einer (elektromagnetischen) Welle.

Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Materiewelle

Die Wahrscheinlichkeit, das Elektron im Volumenelement d V am Ort x , y , z zur Zeit t anzutreffen, z.B. auf dem Detektorschirm am Ort ( x , y ) bei z = s , ist gleich dem Betragsquadrat der Wellenfunktion (entsprechend der Intensität einer Welle!) an diesem Ort mal dem Volumenelement d V = d x d y d z .

Ψ * Ψ = | Ψ | 2 Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion am Ort x , y , z zur Zeit t Ψ * Ψ d V = | Ψ | 2 d V Wahrscheinlichkeit des Antreffens des Elektrons in d V

Mögliche Wahrscheinlichkeitsdichten bei zwei Zuständen

Tritt in einem Experiment ein Ereignis als Folge zweier möglicher Zustände 1 und 2 ein, die einzeln durch die Wellenfunktionen Ψ 1 bzw. Ψ 2 (Weg durch Spalt 1 bzw. 2) beschrieben sind, ist die gesamte Wellenfunktion Ψ des Experiments durch die Summe Ψ 1 + Ψ 2 gegeben (Sowohl-als-auch-Verknüpfungen der Einzelzustände). Die gesamte Wahrscheinlichkeitsdichte ist entsprechend das Betragsquadrat der Summe beider Funktionen.

| Ψ | 2 = | Ψ 1 + Ψ 2 | 2

Geschieht das Experiment mit der Bedingung, dass entweder Zustand 1 oder 2 gilt (d.h. Spalt 1 oder 2 geschlossen), so ist die Gesamtwahrscheinlichkeit gleich der Summe der einzelnen Betragsquadrate:

| Ψ | 2 = | Ψ 1 | 2 + | Ψ 2 | 2

In der Lerneinheit Schrödingergleichung wird gezeigt, wie die analytische Form der Wellenfunktion bestimmt werden kann.

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