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Elektron als Materiewelle

Die De-Broglie-Wellenlänge eines Teilchens

Die punktförmige Verteilung einer Masse, ein wesentliches Charakteristikum eines Teilchens, steht im Einklang mit unseren alltäglichen Erfahrungen mit Bällen, Murmeln oder Stecknadelköpfen. Eine solche Anschauung des Elektrons bereitet uns deswegen keine Schwierigkeiten. Besitzt nun das Elektron Wellencharakter, so wie umgekehrt eine Lichtwelle als Strom von Teilchen, den Photonen, deutbar ist?

Mit Wellen verbindet sich Energietransport, die Teilchen des Mediums, in dem sie sich ausbreiten, wandern nicht mit der Wellenfront. Nun verbindet sich gemäß der Relativitätstheorie mit jeder Masse, multipliziert mit dem Quadrat der Lichtgeschwindigkeit, eine Energie. Warum sollte es also keine Materiewellen geben? Noch dazu, wo auch im Wellenbild Energie paketartig transportieren werden kann1), wie es bei einem bewegten Teilchen der Fall ist. Dies geht zwar nicht mit monochromatischen Wellen, wohl aber mit einer Überlagerung von vielen polychromatischen Wellen. Ihre Amplituden sind gemäß einer glockenförmigen Kurve verteilt, deren Maximum sich bei einer Wellenlänge λ 0 befindet. Ein Beispiel dafür ist Licht in Form eines Laser-Impulses!

Der französische Physiker Louis Victor Pierre Raymond duc de Broglie vermutete 1923, dass die mathematische Formulierung eines Wellenpakets geeignet wäre, Teilchen im Wellenbild zu beschreiben. Die Teilchengeschwindigkeit υ wäre dabei gleich der Gruppengeschwindigkeit c g des Wellenpakets zu setzen. Damit stellte sich die Frage, welche Wellenlänge eine solche Materiewelle besitzt. Für sie postulierte de Broglie 1923 in seiner Doktorarbeit die folgende Gleichung:

λ = h m υ = h p
Legende
h -Planck'sches Wirkungsquantum ( h = 6,626068961034 J s )

Sie entspricht genau der Formel p = h / λ , die den Impuls eines Photons angibt. Für das Verständnis atomarer Vorgänge hat sie grundlegende Bedeutung.

Herleitung der De-Broglie-Wellenlänge

Zur Herleitung von Gleichung startete de Broglie mit folgenden drei Gleichungen:

m 0 c 2 = E 0 = h ν 0 ruhendes Teilchen
m c 2 = E = h ν bewegtes Teilchen
m = m 0 ( 1 υ 2 / c 2 ) 1 / 2 relativistische Massenzunahme

Gleichung und verbinden die Masse mit einer Energie, die wiederum, dem Bild eines Photon entsprechend, zu einer Frequenz ν führt.

Löst man die Gleichungen und jeweils nach h auf, kombiniert sie und ersetzt dann m gemäß Gleichung und löst nach υ auf, erhält man:

υ = c ν ( ν 2 ν 0 2 ) 1 / 2

Nun wird Gleichung mit dem verbunden, was über ein Wellenpaket gelernt wurde. Für die Gruppengeschwindigkeit gilt:

c g = d ω / d k

Sie ist gleich der Geschwindigkeit υ des Teilchens zu setzen ist. Mit:

ω = 2 π ν
k = 2 π / λ

und der Phasengeschwindigkeit:

c p = ν λ

formt man:

υ = d ω / d k

um in:

1 υ = d d ν ν c p

Gleichung beinhaltet den physikalischen Aspekt eines Teilchens der Ruhemasse m 0 und der Geschwindigkeit υ , Gleichung den der Mathematik eines Wellenpakets. Kombiniert man beide, sollte sich etwas folgern lassen, was für Materiewellen gültig ist. Dafür eliminiert man υ , indem man Gleichung in einsetzt, und trennt die Differenziale:

ν d ν c ( ν 2 ν 0 2 ) 1 / 2 = d ν c p

Die Integration ergibt zunächst:

ν d ν c ( ν 2 ν 0 2 ) 1 / 2 = ν c p + const.

Auf der linken Seite entsteht durch Substitution ein elementares Integral, sodass insgesamt folgt:

( ν 2 ν 0 2 ) 1 / 2 c = ν c p + const.

Es verbleibt die Bestimmung der Integrationskonstanten. Ist die Teilchengeschwindigkeit υ gleich null, gilt ν = ν 0 und die linke Seite wird null. Was aber gilt für 1 / c p in diesem Fall? Hier nahm de Broglie an, dass auch ν / c p = 1 / λ = 0 gilt. Das ist plausibel, da die Wellenlänge für ein ruhendes Materieteilchen schwierig anders als unendlich lang vorstellbar ist. Also ist die Integrationskonstante ebenfalls null. Nach Eliminierung des Wurzelausdrucks mit Gleichung entsteht so schließlich:

υ c p = c 2

Gemäß dieser Gleichung nimmt die Phasengeschwindigkeit c p der Materiewelle mit abnehmender Teilchengeschwindigkeit υ zu, da c im Vakuum eine Konstante ist. Die De-Broglie-Wellenlänge entsteht schließlich, indem Gleichung mit der Einstein-Beziehung (Gleichung ) kombiniert wird. Es entsteht:

υ c p = h ν / m

und daraus mit Gleichung die Gleichung

λ = h m υ = h p

Gleichung bestimmt die Wellenlänge der Materiewelle eines Teilchens der Masse m , das sich geradlinig mit der Geschwindigkeit υ bewegt.

1)Der paketartige Energietransport durch Wellen ist in der Lerneinheit Wellen - Einführung beschrieben.
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