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Wellen - Einführung

Praktische Aspekte der Beugung und Interferenz

Beugungseffekte und die damit einhergehenden Interferenzerscheinungen werden maßgeblich bestimmt

  • vom Verhältnis der Wellenlänge zur Größe des Wellenhindernisses und
  • vom Abstand der Wellenquelle und des Beobachtungsortes zum Wellenhindernis.

In der Praxis sind drei Grenzfälle von Bedeutung, die sich mittels der Fresnel-Zahl

F = D 2 z λ
Legende
D -Größe des beugenden Objekts (Spaltbreite, Spaltabstand)
z -Abstand des Beobachtungsorts vom Objekt
λ -Wellenlänge

unterscheiden lassen.

Geometrische Optik: F » 1 ( F −> )

Das Beugungsobjekt ist sehr viel größer als die Wellenlänge. Die Wellenausbreitung entspricht der von der Lichtquelle ausgehenden Projektion des Beugungsobjektes, z.B. eines Spalts. Kennzeichen sind Geradlinigkeit der Ausbreitung und scharfe Schattengrenzen.

Fresnel-Beugung: F 1 ( 10 2 < F < 10 -2 )

Die Wellen breiten sich zunehmend in den Schattenraum aus, die seitliche Abströmung der Wellenenergie steigt mit abnehmender Fresnel-Zahl. Hinter einem Doppelspalt zeigen sich ausgeprägte Interferenzmaxima und -minima (Abb. 1). Ihr Erscheinungsbild in der Beobachtungsebene (parallel zur Spaltebene) hängt von ihrem Abstand z zur Spaltebene ab.

Abb.1
Fresnel-Beugung am Doppelspalt mit unendlich kleiner Spaltbreite

Die Interferenz wird durch die Ortsabhängigkeit des Quadrats der Amplitude A beschrieben, die durch Superposition der beiden vom jeweiligen Spalt ausgehenden Elementarwellen für den Abstand r 1 bzw. r 2 entsteht:

A 2 = A 1 2 + A 2 2 + A 1 A 2 2 cos ( [ r 1 - r 2 ] / λ )

Fraunhofer-Beugung: F « 1 ( F −> 0 )

Die (Licht-)Wellen fallen mit breiter Wellenfront, aus dem Unendlichen kommend, auf das Wellenhindernis (hier ein Doppelspalt, Spaltabstand D , siehe (Abb. 2) ). Praktisch wird das durch eine Kollimatorlinse K erreicht, die die von der punktförmigen, sich im Brennpunkt der Linse befindenden (Licht)Quelle Q ausgehenden Strahlen in ein Parallelbündel umwandelt. Ein Filter F selektiert eine definierte Wellenlänge λ . Das Interferenzmuster wird entsprechend im „Unendlichen” (praktisch für z » D ) mittels einer Sammellinse S in einer parallelen Beobachtungsebene I erzeugt, die sich im Brennpunkt der Linse befindet.

Abb.2
Fraunhofer-Beugung am Doppelspalt

Die Wellenausbreitung hinter dem Doppelspalt erfolgt im Wesentlichen innerhalb zweier von der Doppelspaltmitte V-förmig ausgehender Ebenen, die den Winkel arcsin ( λ / D ) einschließen (Beugungswinkel). Die Abstandsgeraden r 1 und r 2 bei der Fresnel-Beugung in (Abb. 1) verlaufen für die Bedingungen der Fraunhofer-Beugung praktisch parallel. Ihre Längendifferenz s = r 1 - r 2 ist deswegen nur noch vom Winkel θ abhängig. Es gilt s = D · sin θ (Abb. 2) . Weiterhin sind Einzelintensitäten A 1 und A 1 der beiden Elementarwellen praktisch gleich wegen des großen Abstands der Beobachtung vom Doppelspalt. Unter diesen Bedingungen nimmt Gleichung die folgende einfache Form an:

A 2 = 2 A 1 2 + 2 A 1 2 cos ( [ r 1 - r 2 ] / λ ) = 2 A 1 2 · ( 1 + cos [ s / λ ] ) = 2 A 1 2 · ( 1 + cos [ D sin θ / λ ] )

Gleichung lässt sich mittels der Additionstheoreme der Winkelfunktionen vereinfachen. Es gilt 1 = cos 2 α + sin 2 α und cos 2 α = cos 2 α - sin 2 α . Es folgt 1 + cos 2 α = 2 cos 2 α . Demgemäß lässt sich Gleichung umformen in

A 2 = 4 A 1 2 · cos 2 ( π D λ sin θ ) mit Maxima: sin θ max = ± n λ D Minima: sin θ min = ± ( n + ½ ) λ D und n = 0 , 1 , 2 , ...

Diese Kosinusquadrat-Abhängigkeit für die in der Beobachtungsebene I beobachtbare Wellenintensität A 2 (Abb. 2) ist nicht mehr vom Abstand z der Sammellinse vom Doppelspalt abhängig.

Wird die Zahl der bestrahlten unendlichen schmalen Spalte von zwei auf N bei gleichen Abständen D erhöht, resultiert für die Wellenintensität die Gleichung

A 2 ( N ) = N 2 A 1 2 sin 2 ( N π D λ sin θ ) N 2 sin 2 ( π D λ sin θ )

Die Bedingung für das Auftreten der Intensitätsmaxima in Gleichung ist gleich jener des Doppelspalts in Gleichung . Für diese Maxima nimmt der Bruch in Gleichung den Wert Eins an. Demnach wächst die Höhe der Maxima mit dem Quadrat der Spaltzahl an, was mit einer entsprechenden Verschmälerung der Halbwertsbreite der Maximakurven einhergeht. Solche Gitter lassen sich zur Trennung der Spektralfarben verwenden (Monochromatoren), insbesondere dann, wenn Glasprismen nicht mehr verwendbar sind (Fernes IR).

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