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Wellen - Einführung

Interferenz

Wir denken uns für das Folgende, dass die im ersten Abschnitt besprochene ebene Wasserwelle am Trogende auf eine Wand trifft, in der sich zwei parallele vertikale Spalte befinden. Deren Breite ist so klein angenommen, dass nur eine Elementarwelle im jeweiligen Spalt entsteht. Hinter der Wand schreiten beide Kreiswellen ohne Seitenbegrenzung fort (Abb. 1) .

Abb.1
Idealisierter Fall der Interferenz am Doppelspalt

Die Breite beider Spalte ist so klein, dass jeweils nur eine Elementarwelle entsteht. Die von unten auf die Wand treffenden Wellenfronten und ihre reflektierten Anteile sind nicht gezeigt. Wellenberge und Wellentäler sind rot bzw. schwarz gezeichnet. Die Amplituden der Kreiswellen nehmen mit dem inversen Abstand 1 / r 1 bzw. 1 / r 2 vom jeweiligen Spalt ab. Die hyperbolischen Kurven sind die Orte der vergrößerten (rot) bzw. verminderten (blau) Amplitude, die durch Summierung der Wellen von Spalt 1 und 2 entsteht (Abb. 2) .

Abb.2
Überlagerung der Kreiswellen, gezeigt für zwei Wellenfronten

Die Wellenfronten beiden Wellenfronten haben einen Abstand r 1 von Spalt 1 und r 2 von Spalt 2 zu einem gegebenen Zeitpunkt. Bei A und B treffen zwei Wellenberge bzw. Wellentäler aufeinander, die beiden Amplituden addieren sich („konstruktive” Interferenz). Bei C und D treffen jeweils Wellenberg und Wellental aufeinander, die Amplituden heben sich (teilweise) gegenseitig auf („destruktive” Interferenz). Die respektiven Schnittpunkte wandern mit der Zeit entlang der roten bzw. blauen hyperbolischen Kurven (Abb. 1) .

Beugung am Doppelspalt: Interferenz zweier Elementarwellen
An jedem Punkt im Raum hinter dem Doppelspalt addieren sich die Elongationen der beiden Kreiswellen vom Spalt 1 und 2. Der entsprechende Abstand ist r 1 bzw. r 2 für einen gegebenen Punkt (Abb. 2) . An diesem Ort besitzen die beiden Kreiswellen die konstante Phase Φ 1 = k r 1 = r 1 / λ bzw. Φ 2 = k r 2 = r 2 / λ . Die Summe der beiden Kreiswellen an diesem Ort ist dann in der komplexen Notierung der Wellen gegeben durch
E ( t ) = A 1 e i ( Φ 1 + ω t ) + A 2 e i ( Φ 2 + ω t ) = ( A 1 e i Φ 1 + A 2 e i Φ 2 ) e i ω t = A e i ω t
Die Amplitude A der Kreiswellensumme erhalten wir in der komplexen Notierung als Quadrat durch Multiplikation von E mit der konjugiert komplexen Form E * :
E ( t ) E * ( t ) = A 2 = ( A 1 e i Φ 1 + A 2 e i Φ 2 ) ( A 1 e - i Φ 1 + A 2 e - i Φ 2 ) e i ω t e - i ω t = A 1 2 + A 2 2 + A 1 A 2 ( e i ( Φ 1 - Φ 2 ) + e i ( Φ 2 - Φ 1 ) )
Mittels der Eulerschen Formeln e i α = cos α + i sin α und e - i α = cos α - i sin α vereinfacht sich Gleichung zu
A 2 = A 1 2 + A 2 2 + A 1 A 2 2 cos ( Φ 1 - Φ 2 ) = A 1 2 + A 2 2 + A 1 A 2 2 cos ( [ r 1 - r 2 ] / λ )
Die von einer Welle transportierte Energie (und damit die Intensität einer elektromagnetischen Strahlung) ist an jedem Ort proportional dem Quadrat der Gesamtamplitude (Betrag des elektrischen Feldvektors beim Licht). Gleichung stellt deswegen die primordiale Gleichung für das Phänomen der Interferenz dar und führt zu folgenden Merkmalen der Interferenz beim Doppelspalt.

Die Überlagerung zweier Elementarwellen, von denen je eine in den beiden Spalten ansetzt, zeigt das Prinzipielle der Interferenz. Für den Physiker und Spektroskopiker wird es allerdings erst richtig interessant, wenn die Breite, der Abstand und die Zahl der Spalte variiert werden. Die resultierenden Interferenzmuster und die Gleichungen für ihre Berechnung sind an anderer Stelle behandelt (siehe Angaben zur Vertiefung dieser Lerneinheit). Hier sei auf eine Animation hingewiesen, die einen ersten Eindruck vermittelt.

Interferenz am Doppelspalt

  • Ist nur ein Spalt offen, so ist die Gesamtintensität gleich der jeweiligen Einzelintensität: A 2 = A 1 2 oder A 2 = A 2 2 .
  • Sind beide Spalte offen, so setzt sich die Gesamtintensität aus den beiden Einzelintensitäten und einem ortsabhängigen Zusatzterm 2 A 1 A 2 cos ( [ r 1 - r 2 ] / λ ) . Letzterer ist das Charakteristikum der Interferenz und wird als Interferenzterm bezeichnet.
  • Senkrecht zur Doppelspaltmitte gilt r 1 = r 2 (Abb. 2, θ = 0 ), somit cos 0 = 1 , und A 1 = A 2 . Es folgt A 2 = 4 A 1 2 . Die Gesamtintensität ist doppelt so groß wie die Summe der Einzelintensitäten.
  • Für r 1 r 2 verstärkt oder vermindert der Interferenzterm je nach Vorzeichen des Kosinus die Summe der Einzelintensitäten.
  • Maximale Verstärkung besteht an Orten mit r 1 - r 2 = n λ mit | n | = 0, 1, 2, ... gilt (konstruktive Interferenz).
  • Maximale Verminderung besteht an Orten mit r 1 - r 2 = ( n + ½ ) λ mit | n | = 0, 1, 2, ... gilt (destruktive Interferenz).
  • Alle Orte, für die r 1 - r 2 konstant ist, bilden eine Hyperbel. Ihre beiden Brennpunkte liegen in der jeweiligen Spaltmitte.

Eine wichtige Voraussetzung für die Beobachtung der beschriebenen Interferenzerscheinungen ist die sogenannte Kohärenz der sich überlagernden Elementarwellen. Stellen wir zwei separate Lichtquellen, z.B. zwei Kerzen, auf einen Tisch und blenden zwei Lichtstrahlen aus, so werden wir an Orten ihrer Überlagerung keine Interferenzmaxima und -minima beobachten können. Nehmen wir dagegen eine Lichtquelle und richten den Strahl auf einen Doppelspalt (schmale, eng benachbarte Spalte), so sind regelmäßige Intensitätsmaxima und -minima beobachtbar. Ein solches Experiment ist zuerst von Thomas Young (1773 - 1829) um 1802 durchgeführt worden. Es belegte, neben den vorangegangenen Fresnel'schen Befunden zur Lichtbeugung, eindeutig die Wellennatur des Lichtes und bestimmte auch als Erster die Wellenlängen des Lichts. Allerdings fand Young, zu der Zeit Professor für Naturwissenschaften am Royal Institute in London, nicht die gebührende Akzeptanz bei seinen Zeitgenossen, in der Mehrzahl noch immer Anhänger von Newton. Enttäuscht gab er 1804 seine Professur auf und wandte sich wieder der Medizin zu, die er jungen Jahren studiert hatte.

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Abb.3
kohärente Elementarwellen

Die Wellennormalen der von unten anlaufenden ebenen Welle treffen senkrecht auf die Wand mit dem Doppelspalt. Die beiden nach oben weg wandernden Kreiswellen sind genau in Phase, d.h. ihre Elongation ist zu jeder Zeit für gleiche Abstände r 1 und r 2 gleich. Solche Elementarwellen werden als kohärent bezeichnet.

Abb.4
Interferenz am Doppelspalt, ausgelöst durch eine kurzzeitige Kreiswelle

Anklicken der mittleren Taste zeigt das Zeitverhalten der Interferenz, beim zweiten Anklicken die "festgefrorenen" Interferenzmaxima und -minima. (Rechte Taste: siehe dazu auch das Kapitel: Elektron als Materiewelle).

Eine Kohärenz der Elementarwellen in (Abb. 3) besteht auch dann, wenn die Wellennormalen nicht senkrecht auf den Doppelspalt treffen. So könnte z.B. zu einem gegebenen Zeitpunkt die Elementarwelle im linken Spalt gerade die volle Amplitude besitzen, während jene im rechten Spalt durch Null geht. Dem entspricht eine Phasendifferenz von 90 ° , die zu jeder Zeit gilt. Auch in diesem Fall besteht Kohärenz. Ihr Kennzeichen ist also, dass zwischen den sich überlagernden Elementarwellen eine feste Phasenbeziehung besteht. Laser sind Lichtquellen, die eine hohe Kohärenz besitzen. Sie ermöglichen beeindruckende Interferenzexperimente im Raum (Hologramme).

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