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Wellen - Einführung

Gruppengeschwindigkeit

Der vorangehenden Abschnitt behandelt die Form eines Wellenpakets bei gegebener Zeit t = 0 . Für t > 0 wandern Wellenpakete von x = 0 zu positiven x -Werten (oder zu negativen für das Argument kx + c t ). Verfolgen wir den Gipfel des Wellenpakets mit der Zeit, so zeigen seine Ortsänderungen die Wanderung einer Wellengruppe an. Demgemäß sprechen wir von der Gruppengeschwindigkeit c g . Sie gibt an, wie schnell sich das Wellenpaket als Ganzes bewegt. Im Unterschied dazu zeigt die Phasengeschwindigkeit c p die Wanderung des Nulldurchgangs monochromatischer Wellen an.

Die zwei vorangehenden Abschnitte zeigen Wellenpakete, deren Phasen- und Gruppengeschwindigkeit gleich ist wie bei ektromagnetischen Wellen im Vakuum. Bei der Fortpflanzung in einem Medium trifft das in der Regel nicht zu. Die Phasengeschwindigkeit hängt dann von der Wellenlänge oder der Frequenz ab und man sagt, es besteht Dispersion. Beim Voranschreiten eines Wellenpaket verändert sich in diesen Fällen die Lage der Nulldurchgänge relativ zum Paketgipfel.

Der Zusammenhang zwischen Gruppen- und Phasengeschwindigkeit lässt sich bereits mit dem einfachsten Fall einer Wellengruppe, der Überlagerung zweier Sinuswellenwellen, erkennen. Wir greifen also in eine Kiste mit Wellen, nehmen zwei heraus und addieren sie mit gleichen Amplituden (Mischung mit gleichem Stoffmengenanteil sozusagen!). Der Imaginärteil der komplexen Wellenformel lautet demnach

G ( x , t ) = A sin [ ( k 1 x - ω 1 t ] + A sin [ ( k 2 x - ω 2 t ]

Mittels der Additionstheoreme der Winkelfunktionen wird aus Gleichung

G ( x , t ) = 2 A sin [ ½ ( k 1 + k 2 ) x - ½ ( ω 1 + ω 2 ) t ] cos [ ½ ( k 1 - k 2 ) x - ½ ( ω 1 - ω 2 ) t ]

Die Gleichung enthält das Produkt sin cos .

  • Der Sinusanteil heißt Grundwelle, gekennzeichnet durch k = ½ ( k 1 + k 2 ) und ω = ½ ( ω 1 + ω 2 ) .
  • Der Kosinusanteil, gekennzeichnet durch ½ ( k 1 - k 2 ) und ½ ( ω 1 - ω 2 ) , bewirkt eine Modulation der Grundwelle. Es entstehen wandernde Bäuche und Knoten.
Abb.1
Überlagerung zweier Sinuswellen: Wandernde, periodische Wellenpakete

Der grüne Punkt markiert die Wanderung des Nulldurchgangs des Sinusanteils. Der rote Punkt markiert die Wanderung des Amplitudenpunktes des Kosinusanteils.

Sind k und | k 1 - k 2 | sehr unterschiedlich, hat die modulierte Grundwelle das Aussehen einer geradlinigen Perlenkette (Abb. 1) , bei der jede Perle aus vielen sin -Schwingungen besteht. (Abb. 1) demonstriert den Fall unterschiedlicher Phasen- und Gruppengeschwindigkeit. Die Erste ergibt sich aus der Wanderung eines Knotens des sin -Anteils:

c p = ω k = ω 1 + ω 2 k 1 + k 2 = λ ν

Die Zweite ergibt sich aus der Wanderung eines Bauches des cos -Faktors in Gleichung . Befindet er sich zum Zeitpunkt t = 0 bei x = 0 , so bleibt für t > 0 der Kosinus immer eins für

1 2 ( k 1 - k 2 ) x - 1 2 ( ω 1 - ω 2 ) t = 0

womit für die Gruppengeschwindigkeit c g folgt:

c g = ω 2 - ω 1 k 2 - k 1

Addieren wir weitere Wellenpaare, deren Summen der beiden Kreiswellenzahlen (oder Kreisfrequenzen) immer gleich dem Wert des ersten Paares sind, so bleibt der Sinusanteil bis auf die Amplitude unverändert. Durch passende glockenförmige Amplitudenverteilung aller dieser Wellen entsteht schließlich im Grenzfall ein einziges wanderndes Wellenpaket. In diesem Fall können wir die Differenzen vieler benachbarter Wellenpaare bilden. Da sie unendlich eng beieinander liegen, gehen die Differenzen in die Differenziale d ω und d k über. So entsteht die Definition der Gruppengeschwindigkeit eines Wellenpakets:

c g d ω d k

Mittels ω = c p k können wir den Zusammenhang zwischen Gruppen- und Phasengeschwindigkeit herstellen. Es resultiert

c g = d ( c p k ) d k = c p + k d c p d k = c p - λ d c p d λ

Im Fall der normalen Dispersion nimmt die Phasengeschwindigkeit mit wachsender Wellenlänge zu. Gemäß Gleichung ist dann die Gruppengeschwindigkeit kleiner als die Phasengeschwindigkeit, was (Abb. 1) zeigt. Der umgekehrte Fall, c g > c p , wird als anomale Dispersion bezeichnet. Gleichung ist eine der grundlegenden Gleichungen, mit denen de Broglie die Wellenlänge einer Materiewelle herleitete.

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