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Wellen - Einführung

Wellenpakete - Ortsunschärfe

Der vorangegangene Abschnitt zeigt, dass die Überlagerung von Wellen zu Wellenpaketen führt. Deren Kreiswellenzahl k verteilt sich mehr oder weniger eng um eine zentrale Kreiswellenzahl k 0 , wobei die Wellenamplituden eine glockenförmige Verteilung um k 0 besitzen. Die Pakete wiederholen sich periodisch in Ortsabständen, die umso größer sind, je enger die Kreiswellenzahlen gesetzt sind. Im Grenzfall einer kontinuierlichen Amplitudenverteilung verbleibt ein einziges Wellenpaket.

Hier betrachten wir nun die räumliche Ausdehnung eines Wellenpakets bei x = 0 und t = 0 . Sie ist umso schmaler, je breiter die Amplitudenverteilungsdichtefunktion ist (Abb. 1) , d.h. umso weiter die Wellenzahlen von ihrem Zentralwert entfernt sind. Singen wir den Kammerton „a” nur kurz, so besteht er aus einer breiten Verteilung von Schwingungen um 440 Hz . Je länger wir ihn halten, umso schärfer wird die Verteilung. Nur im Grenzfall des unendlich andauernden „a”'s hat die Welle den präzisen Wert 440 Hz, praktisch gesehen eine Unmöglichkeit.

Abb.1
Breite („Ortsunschärfe”) eines Wellenpakets für zwei verschiedene Amplitudenverteilungsdichtefunktionen A ( k ) .

Je breiter die Ausdehnung eines Wellenpakets ist (links), umso schmaler ist die Amplitudenverteilung A ( k ) (rechts). Die gezeigten Wellenpakete können als Produkt einer glockenförmigen Hüllkurve h ( x ) und einer monochromatischen Welle exp ( i k 0 x ) beschrieben werden. Der Wert k 0 ist durch die Abstände d der Nulldurchgänge im Wellenpaket gegeben gemäß k 0 = 2 π / d . A ( k ) ist bei k 0 zentriert, es gilt A ( k ) = const H ( k - k 0 ) . Hierbei ist H ( k ) eine Funktion, die durch Fouriertransformation von h ( x ) entsteht. Wählen wir als Beispiel die glockenförmige Gaußkurve h ( x ) = exp ( - a x 2 ) , so gilt H ( k ) = const exp ( - b k 2 ) (gaußkurvenförmiges Wellenpaket).

Die obigen Betrachtungen führen zu einer interessanten Schlussfolgerung. Der Grenzfall der Amplitudendichteverteilung ist eine unendliche schmale Verteilung, die genau eine bestimmte Kreiswellenzahl anzeigt. Folglich muss die Ortsunschärfe unendlich groß sein. Die Sinusfunktion erfüllt das zwar auf Papier, realisierbar ist aber eine solche monochromatische Welle nicht. Sinuswellen sind eine mathematische Idealisierung. Jede endliche Verwirklichung stellt eine Überlagerung von Wellen mit verschiedener Kreisfrequenz, Wellenlänge und Amplitude dar. Näherungsweise ist eine Sinuswelle realiserbar, wenn die Wellenlänge sehr klein im Vergleich zur Raumausdehnung der Gesamtwelle und die Periodendauer sehr klein gegenüber der Dauer der Welle selbst ist.

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