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Wellen - Einführung

Überlagerung von Wellen

Eine monochromatische harmonische ebene Welle erstreckt sich zu einer gegebenen Zeit von negativen zu positiven unendlichen x -Werten. Sie ist also unendlich ausgedehnt und stellt den zur Punktmasse entgegengesetzten Fall dar. Letztere ist ja bekanntlich für gegebene Masse unendlich klein und zu einer gegebenen Zeit an einem bestimmten Ort x lokalisiert.

Wir fragen uns nun, ob es wie bei Teilchen auch bei Wellen eine Art Lokalisation gibt. Die Antwort ist ja. Singen Sie einfach für eine halbe Sekunde den Kammerton „a”. Ihr Nachbar wird dieses „a” als ein kurzes Wellensignal hören und sonst nichts davor und danach. Dieses „a” können wir uns als einen 500 ms langen Wellenzug der Frequenz 440 Hz vorstellen, sozusagen eine Portion Welle. Ein Fachausdruck dafür ist Wellenpaket.

Wie beschreiben wir solche Wellenpakete mathematisch? Mit einer einfachen e -Funktion wird es nicht mehr gehen. Nach wie vor muss aber die Beschreibungsfunktion die Form f ( k x - ω t ) besitzen, da das Wellenpaket das charakteristische Fortschreiten der Wellenerregung zeigt (sonst würde ja der Nachbar nicht die Portion des „a”-Tons hören). Also ist das Wellenpaket auch eine Lösung der allgemeinen Wellengleichung. Im Folgenden wird gezeigt, dass solche Pakete durch Überlagerung von vielen monochromatischen Wellen entstehen.

Dafür schauen wir uns (Abb. 1) an. Sie zeigt zu einer gegebenen Zeit das Resultat verschiedener Wellensummen als Funktion des Ortes.

Abb.1
Überlagerung (Superposition) von harmonischen Wellen e i k ( x - c t ) für t = 0

Links sind die Amplituden A k der Wellen der Kreiswellenzahl k gezeigt. Die verwendeten k -Werte sind 68, 76, 84, 92,100, 108, 116,124,132 mal / cm .

Rechts ist das resultierende Wellenbild gezeigt in Form des Realteils der e-Funktion mit imaginären Exponenten. Die k -Werte (siehe links) sind in Einheiten / cm gegeben, d. h. alle Wellenbilder sind periodisch mit Δ x = 1 cm . Die Ausbildung eines Wellenpakets mit zunehmender Zahl von Wellen, deren k -Werte sich um k 0 = 100 verteilen, ist deutlich zu erkennen. Erst bei einer kontinuierlichen Amplitudenverteilungsdichtefunktion A ( k ) entsteht nur ein Wellenpaket bei x = 0 (Abb. 1) .

Gezeigt sind „Fotos” der Wellen als Funktion des Ortes x zum Zeitpunkt t = 0 . Sie entstehen durch Überlagerung von harmonischen Wellen der Kreiswellenzahl k n = 2 π / λ n und der Kreisfrequenz ω n = 2 π ν n = c ( 2 π / λ n ) = c k n . Die Phasengeschwindigkeit ist für alle Wellen als gleich angenommen, es gilt c p = c . Eine solche Summe ist durch

f ( x ) = A 1 e i k 1 ( x - c t ) + A 2 e i k 2 ( x - c t ) + A 3 e i k 3 ( x - c t ) +

gegeben. Für t = 0 vereinfacht sie sich zu

f ( x ) = A 1 e i k 1 x + A 2 e i k 2 x + A 3 e i k 3 x +

Die Zahl und Amplituden der überlagerten monochromatischen Wellen sind in (Abb. 1) links gezeigt. Alle Amplitudenverteilungen sind symmetrisch zu k = 15 / cm .

Die Wellenpakete in (Abb. 1) wiederholen sich in gleichen Abständen 0.125 cm . Dies ist eine Konsequenz dessen, dass alle Kreiswellenzahlen ein ganzes Vielfaches von 8 / cm sind. Verringern wir dieses Intervall auf 4 / cm und weiter auf 2 / cm , so erhöht sich die Periodenlänge der Wellenpakete auf 0.25 cm bzw. 0.5 cm . (Abb. 2) verdeutlicht diesen Eigenschaft von überlagerten Wellen.

Abb.2
Überlagerung von harmonischen Wellen e i k ( x - c t ) gleicher Phasengeschwindigkeit für t = 0 mit abnehmender Differenz benachbarter Wellenzahlen

Oben ist die Verteilung der Amplituden gezeigt. Den Anfang bildet die unterste Amplitudeverteilung in (Abb. 1) links. In den beiden nachfolgenden Verteilungen reduziert sich der Linienabstand von anfangs 8 / cm auf 4 / cm bzw. 2 / cm . Dementsprechend verdoppelt sich jeweils der Abstand der Wellenpakete in der 3-Bilder-Animation ebenso wie die Zahl der überlagerten Wellen.

Unten sind die Wellenpakete für die jeweilige Amplitudenverteilung gezeigt. Mit jeder Halbierung des Wellenzahlintervalls verdoppelt sich die Periodenlänge. Im (unendlichen) Grenzfall einer kontinuierlichen Amplitudenverteilungsdichtefunktion A ( k ) entsteht nur ein Wellenpaket bei x = 0 .

Im Grenzfall einer kontinuierlichen Verteilung, erzeugt durch unendlich oft wiederholtes Halbieren des Kreiswellenzahlintervalls, verbleibt ein einziges Wellenpaket bei x = 0 und t = 0 .

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