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Wellen - Einführung

Komplexe Notierung für Wellen

Die vorangehenden Abschnitte zeigen, wie das Phänomen Welle mathematisch beschreibbar ist. Im einfachsten Fall, einer ebenen harmonischen Welle entlang der x -Achse, gilt allgemein:

E ( x , t ) = A sin ( k x - ω t + Φ ) = A [ cos Φ sin ( k x - ω t ) + sin Φ cos ( k x - ω t ) ]

Der Winkel Φ kennzeichnet die Phase der Welle.

  • Für Φ = 0 beginnt die Welle im x -Ursprung sinusförmig für t = 0 , es liegt eine Sinuswelle vor.
  • Für Φ = 90 °C liegt entsprechend eine Kosinuswelle vor.
  • Für dazwischenliegende Φ -Werte sind Sinus- und Kosinuswelle überlagert mit den Gewichten cos Φ bzw. sin Φ .

Die Verwendung von Sinus und Kosinus ist korrekt aber eigentlich unbequem. Denn Wellenphänomene lassen sich einfacher beschreiben, wenn wir die Eulersche Formel nutzen. Diese lautet:

e i α = cos α + i sin α

Die Gleichung

E ( x , t ) = A e i ( k x - ω t )

beschreibt demnach sowohl eine Kosinus- als auch Sinuswelle. Benötigen wir separat die erste oder zweite Wellenform, wählen wir den Real- bzw. Imaginärteil. Soll die Phase variable sein, addieren wir im Exponenten den Phasenwinkel Φ :

E ( x , t ) = A e i ( k x - ω t + Φ )

Der Winkel Φ bestimmt, welche Elongation am Ort x = 0 zum Zeitpunkt t = 0 besteht.

Gleichung ist leicht zu merken, wegen der imaginären Einheit und Potenzschreibweise allerdings weit weniger anschaulich als die Sinus- oder Kosinusfunktion. Wir wollen also zurück zum Sinus der Gleichung . Unter Beachtung von Gleichung , als mathematisches Grundwissen des Naturwissenschaftlers jederzeit im Kopf abrufbar, schreiben wir dann einfach

Im E ( x , t ) = Im [ A e i ( k x - ω t + Φ ) ] = A Im [ e i ( k x - ω t + Φ ) ] = A sin ( k x - ω t + Φ )

ist der zweite Teil in Gleichung erwünscht, spalten wir zuerst den Phasenanteil im Exponenten ab, wenden Gleichung auf die beiden Faktoren an und nehmen den Imaginärteil des ausmultiplizierten Klammerprodukts. Zur Schreibvereinfachung führen wir dafür die Hilfsgröße k x - ω t = α ein.

Im E ( x , t ) = A Im [ e i ( k x - ω t ) e i Φ ] = A Im [ ( cos α + i sin α ) ( cos Φ + i sin Φ ) ] = A Im [ . . . + i ( cos Φ sin α + sin Φ cos α ) ] = A [ cos Φ sin α + sin Φ cos α ]

Resubstitution von α = k x - ω t ergibt den zweiten Teil von Gleichung .

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