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Wellen - Einführung

Mathematische Beschreibung einer ebenen Welle

Der vorangegangene Abschnitt führte in das Phänomen Welle ein. Wie beschreiben wir eine solche Welle mathematisch? Ihre jeweilige Höhe E , die Elongation der Welle, ist eine Funktion von Ort x und Zeit t . Also schreiben wir

E = g ( x , t ) = E ( x , t )

Als Leitbeispiel dient uns die vorangehend behandelte Wasserwelle im Trog. Ist der Balken schön gleichmäßig auf- und abbewegt worden (harmonisch!), so nimmt die Wasseroberfläche einen sinusförmigen Verlauf an. Die folgende Abbildung zeigt die resultierende Elongation als Funktion des Ortes und der Zeit in einem Teilbereich des Trogs.

Abb.1
Harmonische ebene Welle
  • Der grüne Punkt markiert die Wanderung des Nulldurchgangs der Sinuswelle, die mit der Phasengeschwindigkeit geschieht. Die zurückgelegte (grüne) Strecke entspricht im Endpunkt (Überlappung beider Punkte) der Wellenlänge.
  • Der rote Punkt markiert die Schwingung eines Massenelements des Wassers. Während einer vollen Schwingung durchläuft der grüne Punkt genau eine Wellenlänge.

Um die Art der Funktion g zu ermitteln, gehen wir in drei Schritten vor.

  1. Wir schießen ein Foto von der Wasserwelle zur Zeit t = t 1 Ist die Öffnungszeit der Kamera kurz genug ist (1/1000 s), so erhalten wir ein recht genaues Bild der Berge und Täler der Welle. Das Sinusargument ist von x abhängig und enthält eine Konstante b , deren Wert vom Zeitpunkt t 1 der Fotoaufnahme und der gewählten Stelle x = 0 bestimmt ist. Folglich können wir die Ortsabhängigkeit der Welle im Foto zum Zeitpunkt t 1 durch den folgenden Ansatz beschreiben. E ( x , t 1 ) = A sin ( kx + b ( t 1 ) ) A und k heißen Amplitude bzw. Kreiswellenzahl (Einheit 1/Länge). Wählen wir x = 0 an der Stelle eines Nulldurchgangs des Sinus, so gilt b = 0 . Auf dem Foto lassen sich die x -Werte für zwei aufeinanderfolgende Berge, Nulldurchgänge oder Täler bestimmen. Immer ist der Abstand x 2 - x 1 konstant. Wir bezeichnen ihn als Wellenlänge λ = x 2 - x 1 . Mit E ( x 2 , t 1 ) = E ( x 1 , t 1 ) folgt sin k x 2 = sin k x 1 , also muss für die Kreiswellenzahl gelten: k x 2 = k x 1 + 2 π oder k = 2 π λ Gleichung vermittelt die anschauliche Bedeutung der Kreiswellenzahl. In Einheiten 1/m gibt sie an, wieviel volle Wellenlängen und welcher Bruchteil auf den Umfang eines Einheitskreises (Radius 1 m) passen.Ist der Balken nicht gleichmäßig auf- und abbewegt worden , so entsteht ebenfalls eine Welle. Allerdings zeigt nun ein Foto weniger regelmäßig geformte Berge und Täler, nach wie vor aber ist eine Periodizität erkennbar. Offensichtlich reicht die Sinus- oder Kosinusfunktion allein nicht aus, um das Charakteristische einer Welle zu kennzeichnen. Wir wollen deswegen noch etwas festhalten, was mittels der zweiten Ableitung von Sinus (oder Kosinus) nach x für t = const. erkennbar ist ( b = 0 ) 2 E x 2 = A ( - k 2 ) sin ( kx ) = - k 2 E für t = t 1 Die zweite Ableitung der Funktion nach dem Ort ist also bis auf die Konstante - k 2 gleich der Funktion selbst.
  2. Wir denken uns nun auf der Wasseroberfläche am Ort x = x 1 eine schwimmende Leuchtdiode. Während der Wellenbewegung verbleibt sie am Ort und schwingt im Wellentakt auf und ab. Mit einer Videokamera kann diese Schwingung am Ort x = x 1 aufgezeichnet und wieder abgespielt werden. Teilbild für Teilbild lässt sich dann die jeweilige Höhe der Leuchtdiode ausmessen und in einem x,y - Diagramm auftragen, in dem x für die Zeit steht. Für genügend kleines Δt erhalten wir so ein Bild des auf- und abschwingenden Leuchtpunktes am Ort x 1 . Bewegen wir den Balken wie im ersten Schritt, ist der Zeitverlauf der Schwingung wiederum durch eine Sinuskurve beschreibbar. Wenn bei t = 0 und x = x 1 die Elongation gerade Null ist, gilt: E ( x 1 , t ) = A sin ( ω t ) Die Konstante ω heißt Kreisfrequenz der Schwingung. Die Zeit t 2 - t 1 = T zwischen zwei Maxima, Nulldurchgängen oder Minima heißt Schwingungsdauer, ihr Kehrwert 1 / T ist die Schwingungsfrequenz ν . Wie oben bei der Wellenzahl k erhalten wir hier: ω t 2 = ω t 1 + 2 π oder ω = 2 π T = 2 π ν . Anschaulich ausgedrückt: Die Kreisfrequenz gibt an, wie oft eine Leuchtdiode pro Sekunde den Umfang eines Einheitskreises durchläuft, die Schwingungsfrequenz, wie oft pro Sekunde sie die gleiche Elongation annimmt (Amplitude, Nulldurchgang usw.).Wir bilden nun entsprechend unserer Vorgehensweise im ersten Schritt die zweite Ableitung von E ( x 1 , t ) nach t bei x 1 = const . 2 E t 2 = A ( - ω 2 ) sin ( ω t ) = - ω 2 E für x = x 1 Die zweite Ableitung der Funktion nach der Zeit ist also wieder bis auf die Konstante ω 2 gleich der negativen Funktion selbst.
  3. Wir betrachten nun den Wanderungsvorgang der Welle, d. h. Orts- und Zeitabhängigkeit zusammen. Eine Videokamera ist dafür ein geeignetes Aufzeichnungsgerät. Umfassender geht es allerdings, wenn wir etwas Mathematik betreiben. Dafür kombinieren wir die beiden Differenzialgleichungen und unter Eliminierung von E . Dies ergibt 1 ω 2 2 E t 2 = 1 k 2 2 E x 2 oder 2 E t 2 = ω 2 k 2 2 E x 2 Die entstandene Gleichung ist eine partielle Differenzialgleichung und wird als eindimensionale Wellengleichung bezeichnet. Physikalische Überlegungen führen direkt auf sie ohne Verwendung einer speziellen Lösungsfunktion wie Sinus oder Kosinus. Partielle Differenzialgleichungen besitzen sehr allgemeine Lösungen. Bestimmte analytische Funktionen entstehen erst durch Berücksichtigung weiterer Bedingungen. Dies belegt der folgende allgemeine Funktionsansatz. E ( x , t ) = f ( k x ± ω t ) = f ( υ ) mit υ k x ± ω t Die Ableitungen bestimmen wir mit der Kettenregel / x = ( / υ ) ( υ / x ) und / t = ( / υ ) ( υ / t ) . Es zeigt sich, dass in der Tat jede Funktion f ( k x ± ω t ) die partielle Differenzialgleichung erfüllt. Zeichnen wir eine solche beliebige Funktion für zwei Zeiten t 1 und t 2 als Funktion von x , wird deutlich, dass sie je nach Vorzeichen im Argument eine nach links ( + ) oder rechts ( - ) wandernde Kurvenform f beschreibt.Im obigen Beispiel der ebenen Wasserwelle erhalten wir also das Orts- und Zeitverhalten der Elongation aus Gleichung schlicht durch Einsetzen der Sinusfunktion anstelle von „ f ” und Wahl des negativen Vorzeichens. E ( x , t 1 ) = E 0 sin ( kx - ω t ) Dieses Ergebnis wäre selbstverständlich auch durch Kombination der Gleichungen und entstanden.

Die Wellengleichungen und kennzeichnet das Charakteristische einer Welle, nämlich das Fortschreiten einer Erregung in Richtung der x -Achse. „Erregt” sind die entlang der x -Achse gereihten Teilchen, im Fall der Wasserwelle zum Beispiel schwimmende kleine Kugeln. Sie verbleiben an ihrem x -Ort, schwingen senkrecht zur Achse der Wellenausbreitung und geben die Erregungsenergie an die Nachbarteilchen weiter. Über die Form der Welle sagt die Wellengleichung nichts aus. Sie ergibt sich erst aus den speziellen Bedingungen des betrachteten Falles. Dazu gehört im Beispiel der Wasserwelle im Trog die Art und Weise, wie wir den Balken bewegen.

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