Transporterscheinungen
Formulierung der Flussgleichung
Den drei Transporterscheinungen
- Transport von Masse Transportgröße = Teilchenzahl oder Masse
- Transport von Energie Transportgröße = Energie
- Transport von Impuls Transportgröße = Impuls
ist gemeinsam, dass zu einer gegebenen Zeit die allgemeine Transportgröße vom Ort und der Zeit abhängig ist, d.h. es gilt oder kurz . Ein allgemeiner Ansatz für eine Flussgleichung lässt sich wie folgt aufstellen:
- Der Fluss der Transportgröße in -Richtung ist definiert als Menge von , die pro Zeiteinheit durch die Einheitsfläche (Normalenvektor in -Richtung) hindurchtritt. Es gilt , wenn der Fluss in die positive -Richtung weist. ändert sich durch den Fluss, also setzen wir nur kleine Beobachtungsintervalle an, die zu führen, und bilden den Grenzwert:
- Wir legen die Durchtrittsfläche an eine beliebige Stelle und zusätzlich zwei gleiche planparallele Flächen an den Stellen und . Dies ist für eine beliebige Zeit im nachfolgenden Diagramm schematisch gezeigt (Variable im Argument weggelassen):
- Abb.1
- Verlauf der allgemeinen Transportgröße am Ort .
Das linke Bild zeigt den Verlauf von in der Nähe von . Offensichtlich gilt . Hätte allerdings den Verlauf der Parallelen zur -Achse durch , so wäre , da links und rechts von der Durchtrittsfläche gleiche Werte besitzt. Bestände die Parallele nur von bis und von bis des gezeigten Kurvenverlaufes, so wäre wiederum , aber kleiner als im Fall der gesamten -Kurve.
Es folgt also, dass der Fluss proportional zur Summe der beiden fett gezeichneten Abschnitte (links) ist, die zwischen der Parallele und der -Kurve liegen. Wir verringern nun soweit, dass der -Verlauf genügend genau gleich der Tangente am Punkt ist, wie in der Box gezeigt. In diesem Fall sind die beiden Abschnitte rechts in der Abbildung gleich lang und durch das Produkt Tangentensteigung mal gegeben. Für den Fluss gilt deswegen die folgende Proportionalität:
- Die Überlegungen des vorgehenden Punktes gelten an jeder Stelle und zu jeder Zeit , also besteht die allgemeine Proportionalität:Das Minuszeichen berücksichtigt, dass für negative Steigung der Fluss positiv ist.