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Transporterscheinungen

Formulierung der Flussgleichung

Den drei Transporterscheinungen

  1. Transport von Masse Transportgröße G = Teilchenzahl oder Masse
  2. Transport von Energie Transportgröße G = Energie
  3. Transport von Impuls Transportgröße G = Impuls

ist gemeinsam, dass zu einer gegebenen Zeit die allgemeine Transportgröße vom Ort x und der Zeit t abhängig ist, d.h. es gilt G = f ( x , t ) oder kurz G ( x , t ) . Ein allgemeiner Ansatz für eine Flussgleichung lässt sich wie folgt aufstellen:

  • Der Fluss J x der Transportgröße G in x -Richtung ist definiert als Menge von G , die pro Zeiteinheit durch die Einheitsfläche (Normalenvektor in x -Richtung) hindurchtritt. Es gilt J x > 0 , wenn der Fluss in die positive x -Richtung weist. G ( x , t ) ändert sich durch den Fluss, also setzen wir nur kleine Beobachtungsintervalle Δ t an, die zu Δ G führen, und bilden den Grenzwert: J x = lim Δ x 0 Δ G A Δ t = d G A d t Einheiten [ J x ] = [ G ] m 2 s
  • Wir legen die Durchtrittsfläche A an eine beliebige Stelle x 0 und zusätzlich zwei gleiche planparallele Flächen an den Stellen x 0 + Δ x und x 0 - Δ x . Dies ist für eine beliebige Zeit t im nachfolgenden Diagramm schematisch gezeigt (Variable t im Argument weggelassen):
Abb.1
Verlauf der allgemeinen Transportgröße am Ort x 0 .

Das linke Bild zeigt den Verlauf von G ( x , t ) in der Nähe von x 0 . Offensichtlich gilt J x > 0 . Hätte allerdings G ( x , t ) den Verlauf der Parallelen zur x -Achse durch G ( x 0 , t ) , so wäre J x = 0 , da links und rechts von der Durchtrittsfläche G gleiche Werte besitzt. Bestände die Parallele nur von x 0 - Δ x bis x 0 und von x 0 bis x 0 + Δ x des gezeigten Kurvenverlaufes, so wäre wiederum J x > 0 , aber kleiner als im Fall der gesamten G -Kurve.

Es folgt also, dass der Fluss proportional zur Summe der beiden fett gezeichneten Abschnitte (links) ist, die zwischen der Parallele und der G -Kurve liegen. Wir verringern nun G x soweit, dass der G -Verlauf genügend genau gleich der Tangente am Punkt G ( x 0 , t ) ist, wie in der Box gezeigt. In diesem Fall sind die beiden Abschnitte Δ G rechts in der Abbildung gleich lang und durch das Produkt Tangentensteigung mal Δ x gegeben. Für den Fluss J x gilt deswegen die folgende Proportionalität:

J x 2 G ( x 0 , t ) x Δ x
  • Die Überlegungen des vorgehenden Punktes gelten an jeder Stelle x und zu jeder Zeit t , also besteht die allgemeine Proportionalität: J x - G ( x , t ) x Das Minuszeichen berücksichtigt, dass für negative Steigung der Fluss positiv ist.
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