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Transporterscheinungen

Formulierung der Flussgleichung

Den drei Transporterscheinungen

Transport von Masse $\Leftrightarrow$ Transportgröße $G$ = Teilchenzahl oder Masse
Transport von Energie $\Leftrightarrow$ Transportgröße $G$ = Energie
Transport von Impuls $\Leftrightarrow$ Transportgröße $G$ = Impuls

ist gemeinsam, dass zu einer gegebenen Zeit die allgemeine Transportgröße vom Ort $x$ und der Zeit $t$ abhängig ist, d.h. es gilt $G = f (x, t)$ oder kurz $G (x, t)$ . Ein allgemeiner Ansatz für eine Flussgleichung lässt sich wie folgt aufstellen:

Der Fluss $J_{x}$ der Transportgröße $G$ in $x$ -Richtung ist definiert als Menge von $G$ , die pro Zeiteinheit durch die Einheitsfläche (Normalenvektor in $x$ -Richtung) hindurchtritt. Es gilt $J_{x} > 0$ , wenn der Fluss in die positive $x$ -Richtung weist. $G (x, t)$ ändert sich durch den Fluss, also setzen wir nur kleine Beobachtungsintervalle $Δ t$ an, die zu $Δ G$ führen, und bilden den Grenzwert: $J_{x} = lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ G}{A Δ t} = \frac{d G}{A d t} Einheiten [J_{x}] = \frac{[G]}{m^{2} \cdot s}$
Wir legen die Durchtrittsfläche $A$ an eine beliebige Stelle $x_{0}$ und zusätzlich zwei gleiche planparallele Flächen an den Stellen $x_{0} + Δ x$ und $x_{0} - Δ x$ . Dies ist für eine beliebige Zeit $t$ im nachfolgenden Diagramm schematisch gezeigt (Variable $t$ im Argument weggelassen):

Abb.1: Verlauf der allgemeinen Transportgröße am Ort $x_{0}$ .

Das linke Bild zeigt den Verlauf von $G (x, t)$ in der Nähe von $x_{0}$ . Offensichtlich gilt $J_{x} > 0$ . Hätte allerdings $G (x, t)$ den Verlauf der Parallelen zur $x$ -Achse durch $G (x_{0}, t)$ , so wäre $J_{x} = 0$ , da links und rechts von der Durchtrittsfläche $G$ gleiche Werte besitzt. Bestände die Parallele nur von $x_{0} - Δ x$ bis $x_{0}$ und von $x_{0}$ bis $x_{0} + Δ x$ des gezeigten Kurvenverlaufes, so wäre wiederum $J_{x} > 0$ , aber kleiner als im Fall der gesamten $G$ -Kurve.

Es folgt also, dass der Fluss proportional zur Summe der beiden fett gezeichneten Abschnitte (links) ist, die zwischen der Parallele und der $G$ -Kurve liegen. Wir verringern nun $G_{x}$ soweit, dass der $G$ -Verlauf genügend genau gleich der Tangente am Punkt $G (x_{0}, t)$ ist, wie in der Box gezeigt. In diesem Fall sind die beiden Abschnitte $Δ G$ rechts in der Abbildung gleich lang und durch das Produkt Tangentensteigung mal $Δ x$ gegeben. Für den Fluss $J_{x}$ gilt deswegen die folgende Proportionalität:

J_{x} \sim 2 \frac{\partial G (x_{0}, t)}{\partial x} Δ x

Die Überlegungen des vorgehenden Punktes gelten an jeder Stelle $x$ und zu jeder Zeit $t$ , also besteht die allgemeine Proportionalität: $J_{x} \sim - \frac{\partial G (x, t)}{\partial x}$ Das Minuszeichen berücksichtigt, dass für negative Steigung der Fluss positiv ist.