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Herleitung

Die inhomogene Differenzialgleichung

d x d t = ( a + b ) x + b x 0

wird durch "Variation der Konstanten" gelöst. Dazu muss die allgemeine Lösung der zugehörigen homogenen Differenzialgleichung bekannt sein:

d x d t = ( a + b ) x 1 x d x d t = ( a + b ) 1 x ( d x d t ) d t = d x x = ( a + b ) d t + C ln x = ( a + b ) t + C ' x = C e ( a + b )

Die Lösung der homogenen Differenzialgleichung wird nun mit

C = C ( t )

und

x = C ( t ) e ( a + b ) t d x d t = d C ( t ) d t e ( a + b ) t C ( t ) ( a + b ) e ( a + b ) t

in die inhomogene Differenzialgleichung eingesetzt. Man erhält dann die Differenzialgleichung

d C ( t ) d t = b x 0 e ( a + b ) t

mit der Lösung:

C ( t ) = b x 0 a + b e ( a + b ) t + C ' '

Die allgemeine Lösung der inhomogenen Differenzialgleichung ist dann:

x = C ( t ) e ( a + b ) t = b x 0 a + b + C ' ' e ( a + b ) t

Mit den Anfangsbedingungen

x ( t ) = x ( 0 ) = x 0 und y ( t ) = y ( 0 ) = 0

werden die Lösungen

x = x 0 a + b ( b + a e ( a + b ) t ) y = x 0 x = x 0 [ 1 1 a + b ( b + a e ( a + b ) t ) ] = x 0 a a + b ( 1 e ( a + b ) t )

erhalten.