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Herleitungen

Die Herleitungen der Zeitgesetze der Reaktionen 1., 2. und 3. Ordnung findet man in der Lerneinheit Reaktionsordnung. Für ein Eduktgemisch einer Reaktion mit gleichen Konzentrationen ist das integrierte RG-Gesetz:

A + B + C + ... Produkte mit [ A ] = [ B ] = [ C ] = ...
d [ A ] d t = k [ A ] a [ B ] b [ C ] c ... = k [ A ] a [ A ] b [ A ] c ... = k [ A ] n mit n = a + b + c + ... > 1 1 [ A ] n d [ A ] d t = k [ A ] 0 [ A ] t d [ A ] [ A ] n = k 0 t d t 1 n 1 ( 1 [ A ] 0 n 1 1 [ A ] t n 1 ) = k t [ A ] t 1 n [ A ] 0 1 n n 1 = k t

Bruchteilzeit:

[ A ] t 1 n [ A ] 0 1 n n 1 = k t [ A ] t = [ A ] 0 a ( [ A ] 0 a ) 1 n [ A ] 0 1 n n 1 = [ A ] 0 1 n a 1 n [ A ] 0 1 n n 1 = [ A ] 0 1 n ( 1 a 1 n 1 ) n 1 = k t 1/a t 1/a = a n 1 1 ( n 1 ) k [ A ] 0 n 1

Halbwertszeit:

t 1/a = a n 1 1 ( n 1 ) k [ A ] 0 n 1 a = 2 t 1 / 2 = 2 n 1 1 ( n 1 ) k [ A ] 0 n 1

Halbwertszeiten mit relativen Konzentrationen und Zeiten für die Reaktionen:

A Produkte
A + B Produkte mit [A]=[B]
Reaktion 1 . Ordnung mit Halbwertszeit t 1/2 = ln 2 k : [ A ] = [ A ] 0 e k t [ A ] [ A ] 0 = e k t 1/2 t t 1/2 [ A ] [ A ] 0 = e k ln 2 k t t 1/2 [ A ] [ A ] 0 = ( e ln 2 ) t t 1/2 [ A ] [ A ] 0 = 2 t t 1/2 [ A ] = [ A ] 0 2 [ A ] 0 2 [ A ] 0 = 2 t t 1/2 2 = 2 t t 1/2 lg 2 = lg 2 t t 1/2 = t t 1/2 lg 2 t t 1/2 = 1 [ A ] = [ A ] 0 4 [ A ] 0 4 [ A ] 0 = 2 t t 1/2 4 = 2 t t 1/2 lg 4 = lg 2 t t 1/2 lg 2 2 = 2 lg 2 = t t 1/2 lg 2 t t 1/2 = 2 Reaktion 2. Ordnung mit Halbwertszeit t 1/2 = 1 k [ A ] 0 : [A] = [ A ] 0 1 + k t [ A ] 0 [ A ] [ A ] 0 = 1 1 + k t 1/2 [ A ] 0 t t 1/2 [ A ] [ A ] 0 = 1 1 + k 1 k [ A ] 0 [ A ] 0 t t 1/2 [ A ] [ A ] 0 = 1 1 + t t 1/2 [ A ] = [ A ] 0 2 [ A ] 0 2 [ A ] 0 = 1 1 + t t 1/2 1 2 = 1 1 + t t 1/2 2 = 1 + t t 1/2 t t 1/2 = 2 1 = 1 t t 1/2 = [ A ] 0 [ A ] 0 4 1 = 4 1 = 3