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Volumen realer Mischungen

Herleitung des mittleren molaren Mischungsvolumens

Die Herleitung erfolgt in vier Schritten:

1. Schritt

Das mittlere molare Mischungsvolumen V ¯ ist durch folgenden Zusammenhang gegeben:

V n = V ¯ = x1 V1 + x2 V2 = x1 ( V1 - V2 ) + V2 mit n = n1 + n2 xi = ni n x1 + x2 = 1 d x1 + d x2 = 0

Dabei sind V1 und V2 die jeweiligen partiellen Molvolumina des Stoffes 1 bzw. 2.

2. Schritt

Vorherige Betrachtungen führen auf folgende Gleichung:

n1 d V1 + n2 d V2 = 0

Teilen der Gleichung durch n liefert:

x1 d V1 + x2 d V2 = 0

Eine Division durch dn2 für n1 = const. führt auf Gleichung :

x1 V1 n2 + x2 V2 n2 = 0

Weiter gilt für n1 = const. :

n2 = x2 n = x2 ( n1 + n2 ) n2 = x2 n + x2 n2

Aus Gleichung folgt durch Umformung:

n2 = n 1 - x2 x2 = n x1 x2 = n 2 n1 x2

Durch Einsetzen der Gleichung in obige Formel eingesetzt entsteht

n 2 n1 ( x1 V1 x2 + x2 V2 x2 ) = 0

Für Mischungen ist der Faktor vor der Klammer nicht Null, also muss der Ausdruck in den Klammern Null sein. Die komplementäre Gleichung entsteht durch Vertauschung der Indizes 1 und 2:

x1 V1 x2 + x2 V2 x2 = 0 x1 V1 x1 + x3 V2 x1 = 0

3. Schritt

Eine Ableitung von V ¯ nach x1 ergibt, unter Beachtung von 1 = x1 + x2 :

V ¯ x1 = V1 - V2 + x1 ( V1 x1 - V2 x1 ) + V2 x1 ( x1 + x2 ) = V1 - V2 + x1 V1 x1 + x2 V2 x1

Die letzten beiden Summanden sind zusammen Null gemäß Gleichung , so dass folgender Ausdruck verbleibt:

V ¯ x1 = V1 - V2

Wegen x1 = - x2 gilt ebenfalls:

V ¯ x2 = V2 - V1

4. Schritt

Kombination der Ergebnisse aus Gleichung und Gleichung führt zum Endergebnis:

Mittleres molares Mischungsvolumen
V ¯ ( x1 ) = x1 ( V1 - V2 ) + V2 = x1 V ¯ x1 + V2
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