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Volumen realer Mischungen

"Becherglas"-Integration

Wir denken uns 1mol Stoff 1 mit 3mol Stoff 2 gemischt, die Stoffmengenanteile sind also x1=0,25 und x2=0,75 . Welche Teilmengen wir auch immer der ⅓-Mischung entnehmen, die beiden Stoffmengenanteile bleiben gleich und folglich auch die partiellen molaren Volumina. Die auf 1mol bezogenen Wechselwirkungseffekte der Mischung sind also nicht von der Absolutmenge der Mischung abhängig, sondern nur vom Mischungsverhältnis n1:n2.

Nun betrachten wir das entsprechende totale Differenzial d V = V1 ( 1 , 3 ) d n1 + V2 ( 1 , 3 ) d n2 aus chemischer Sicht.

Wir stellen uns dV als ein winziges Mischungsvolumen in einem winzigen Becherglas vor. Es enthält eine winzige Stoffmenge d n1 von Stoff 1, entsprechend für Stoff 2. Für das Stoffmengenverhältnis gilt:

d n1 d n2 = 1 3

Als letztes stellen wir uns vor, dass wir die gesamte obige Mischung in eine sehr große Zahl solcher winzigen Bechergläser aufgeteilt haben. Für alle gilt:

n1 n2 = d n1 d n2 = 1 3

Zu jedem Becherglas gehört ein totales Differenzial. Auf dem Labortisch aufgereiht sieht das etwa so aus:

Tab.1
Reihe zur Becherglasintegration.
ChemieMathematik
Abb.1
dV=V1(1,3)dn1+V2(1,3)dn2=V1(1,3)dn1+V2(1,3)3dn1
Abb.2
dV=V1(1,3)dn1+V2(1,3)dn2=V1(1,3)dn1+V2(1,3)3dn1
Abb.3
dV=V1(1,3)dn1+V2(1,3)dn2=V1(1,3)dn1+V2(1,3)3dn1

Gießen wir die Inhalte aller winzigen Bechergläser wieder in das ursprüngliche Gefäß zurück, so entsteht das anfängliche Gesamtvolumen V bei gleichem n1-n2-Verhältnis. Diese "Becherglas"-Integration findet ihre Entsprechung in der Summierung der unendlich vielen Differenziale. Das Ergebnis ist gleich:

V = V1 ( 1 , 3 ) d n1 + V2 ( 1 , 3 ) d n2 = V1 ( 1 , 3 ) d n1 + V2 ( 1 , 3 ) d 3 n1

Fazit

Was für das Verhältnis n1 n2 = 1 3 gilt, trifft natürlich für jedes beliebige Verhältnis n1 n2 zu. Insgesamt erhalten wir also das allgemeine Ergebnis:

V = n1 V1 ( n1 , n2 ) + n2 V2 ( n1 , n2 )
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