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Ideale Mischungsentropie

Die Mischungsentropie idealer Gase

Es sollen Gas 1 (X) und Gas 2 ( ) vor und nach der Vermischung betrachtet werden.

Abb.1

Die Mischungsentropie ergibt sich dabei zu

ΔmixS = S nach - S vor = S nach - ( n 1 Sm,1 + n 2 Sm,2 ) .

Zur Bestimmung von ΔmixS muss ein reversibler Weg der Vermischung gesucht werden. Durch die Verwendung von Kolben mit semipermeablen Wänden kann eine isotherme, reversible Expansion durchgeführt werden. Hierbei gilt

d U = d Q + d Wvol = d Q + ( - pex d V ) = 0 d T = 0 und ideales Gas .

Da der Prozess reversibel durchgeführt wird, können wir schreiben

d U = d Qrev + d Wvol,rev = d Qrev - p d V = 0 - d Qrev = d Wvol,rev .

1. Schritt: Expansion des Gases 1

Das Gas 1 wird durch Herausziehen des für Gas 1 durchlässigen Stempels reversibel expandiert.

Abb.2

Die resultierende Arbeit in Verbindung mit dem idealen Gasgesetz ergibt sich zu

Wrev = - V vor V nach p d V = - n 1 R T ln V nach V vor = - n 1 R T ln V 1 + V 2 V 1

2. Schritt: Expansion des Gases 2

Das Gas 2 wird analog durch Herausziehen des für Gas 2 durchlässigen Stempels reversibel expandiert.

Abb.3

Somit ergibt sich analog

Wrev,2 = - n 2 R T ln V 1 + V 2 V 2 .

Bilanzierung

Eine Bilanzierung der Teilprozesse liefert uns die reversible Vermischungswärme

Wtotal,rev = Wrev,1 + Wrev,2 = - R T n 1 ln V 1 + V 2 V 1 + n 2 ln V 1 + V 2 V 2 = - Q rev,Vermischung

die uns nun zur Vermischungsentropie führt

ΔmixS = Q rev,Vermischung T = R n 1 ln V 1 + V 2 V 1 + n 2 ln V 1 + V 2 V 2 .

Zur Vereinfachung der obigen Gleichung wird der Stoffmengenanteil einbezogen.

V 1 = n 1 Vm,1 V 2 = n 2 Vm,2 Vm,1 = Vm,2 = Vm , da gleiches p 0 , T für Gas 1 und 2 V 1 + V 2 V 1 = n 1 Vm + n 2 Vm n 1 Vm = n 1 + n 2 n 1 = 1 x 1 und analog V 1 + V 2 V 2 = 1 x 2 .

Mit ln ( 1 / x i ) = - ln x i bekommen wir

ΔmixS = - R { n 1 ln x 1 + n 2 ln x 2 } .

Teilen durch die Stoffmengen liefert

Mittlere, molare Mischungsentropie
ΔmixS n 1 + n 2 = ΔmixSm = - R { x 1 ln x 1 + x 2 ln x 2 } .

Die Entropie der idealen Gasmischung ergibt sich schließlich aus der Summe der reinen, getrennten Gase und der Mischungsentropie

S Mischung = ( n 1 Sm,1 + n 2 Sm,2 ) + ( - R { n 1 ln x 1 + n 2 ln x 2 } ) = i n i Sm,i - R i n i ln x i
Mischungsentropie
S Mischung = i n i ( Sm,i - R ln x i )
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