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2. Hauptsatz der Thermodynamik - Wärmekraftmaschinen

Die reversible Carnot-Maschine mit realem Arbeitsstoff (Unter-Carnot-Maschine)

Der Wirkungsgrad einer Wärmekraftmaschine kann nie größer sein, als der der Carnot-Maschine mit dem idealen Gas als Arbeitsstoff (2. Hauptsatz). In der Praxis müssen wir allerdings mit realen Stoffen operieren. Was können wir über den erreichbaren Wirkungsgrad η r aussagen, wenn die vier reversiblen Teilprozesse der Carnot-Maschine mit einem realen Gas durchgeführt werden.

Wir denken uns eine solche Maschine aufgebaut und einen Zyklus durchgeführt. Den realen Wirkungsgrad η r können wir aus den gemessenen Werten Qh ' ' und W r bestimmen. Wegen des Übergangs zum realen Arbeitsstoff nehmen wir ihn kleiner als den idealen Wert η c an (falls er größer wäre, läge eine Über-Carnot-Maschine zugrunde!). Man spricht deswegen von einer Unter-Carnot-Maschine.

Im nächsten Schritt betrachten wir wieder eine Tandem-Maschine, diesmal mit einer Carnot-Maschine als Kraftmaschine und der Untercarnot-Maschine als Wärmepumpe. Letzteres geschieht mit gleichem Wirkungsgrad η r , da ja nach Voraussetzung die Unter-Carnot-Maschine in jedem Schritt reversibel ist.

Wie sieht jetzt die Energiebilanz aus? Die Expansion in beiden Maschinen richten wir so ein, dass die auf- und abgebenen Arbeiten in der Summe null sind, also - W r = W c . Zur Übersichtlichkeit verwenden wir wieder die positive Grundenergie a.

Carnot-M. η c = 2 / 9 - W c = Qh + Qc +2 a = 9 a - 7 a Untercarnot-M. η r = 1 / 9 + W r = - Qh ' ' - Qc ' ' -2 a = -18 a + 16 a Summe 0 = ( Qh - Qc ' ' ) + ( Qc - Qc ' ' ) 0 = ( -9 a ) + ( 9 a )

Der Nettoeffekt pro Tandemzyklus ist die Überführung einer Wärmemenge 9 a vom kalten zum heißen Reservoir ohne Aufwendung einer Arbeit oder anderer bleibender Effekte. Dies gilt für alle Werte Qh und η r , wenn nur η r < η c erfüllt bleibt.

Auch dieses Ergebnis widerspricht dem 2. Hauptsatz. Für den Wirkungsgrad der Carnot-Maschine mit realem Arbeitsstoff sind demnach die Fälle η r < η c und η r > η c ausgeschlossen, also muss für jeden reversiblen Carnot-Prozess η r = η c gelten!

Aus der Erfahrung „Wärme fließt nicht spontan von kalt nach heiß”, was in die oben gegebene Formulierung des 2. Hauptsatzes mündet, folgt insgesamt die allgemeine Aussage:

Carnot'scher Kreisprozess und Wirkungsgrad
Alle Carnot'schen Kreisprozesse (reversibel!), die zwischen denselben Temperaturen Th und Tc arbeiten, besitzen unabhängig von der Natur des Arbeitsstoffes den gleichen Wirkungsgrad. Er ist allein eine Funktion der beiden Temperaturen Th und Tc :
η c = η rev,max = f ( Th , Tc ) = Qh + Qc Qh

Dieses Ergebnis erstaunt. Die realen Gase zeigen recht verschiedene thermische Eigenschaften, je nach Stärke der zwischenmolekularen Kräfte. Wie äußern sich also die gasspezifischen Eigenschaften? Dies ist leichter zu erkennen, wenn wir die Gleichung für η c umformen in:

1 - η c = - Qc Qh = 1 - f ( Th , Tc )

Fazit

  • Das Verhältnis der zwei Wärmen Qh und Qc ist allein durch die Temperaturen Th und Tc bestimmt.
  • Die Absolutwerte der zwei Wärmen Qh und Qc hängen dagegen von der Art und Menge des verwendeten Arbeitsstoffes ab.
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