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Entropie - Elementare statistische Betrachtung

Stirling'sche Näherungsformel

Die Fakultät einer Zahl wächst sehr schnell an:

  • 5! ergibt 120,
  • 10! ergibt 3,63 10 6 ,
  • 15! ergibt 1,31 10 12 und
  • 69! ergibt 1,7 10 98 .

Hier hilft die Stirling'sche Näherungsformel:

ln N ! N ln N - N für N >> 1

Für N = 1000 entsteht gemäß Gleichung 5912 5907 . Je größer N ist, umso genauer wird die Stirling'sche Näherungsformel.

Ihrer Herleitung liegt folgende Zerlegung zugrunde:

ln N ! = ln ( 1 2 3 4 N ) = ln 1 + ln 2 + ln 3 + ln 4 + + ln N = 1 N ln x Δ x mit  Δ x = 1

Für sehr große Werte von N kann Δ x als sehr klein angesehen und die Summation als Integration von ln x d x in den Grenzen von 1 bis N durchgeführt werden. Die partielle Integration führt auf die Näherung Gleichung .

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