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Entropie - Elementare statistische Betrachtung

Entropie idealer Gase

In den vorangehenden Abschnitten ist die V- und T-Abhängigkeit der maximalen thermodynamischen Wahrscheinlichkeit von Teilchen hergeleitet worden unter der Voraussetzung, dass sich die Teilchen unabhängig voneinander verteilen können. Für ein ideales Gas ist dies erfüllt, nicht jedoch für reale Gase. Ihr Verhalten ist je nach Teilchendichte mehr oder weniger stark von den zwischenmolekularen Wechselwirkungen mitbestimmt. Im Folgenden sollen für ein ideales Gas die V- und T-Abhängigkeit in Form der jeweiligen Differenziale zusammengeführt werden. Für reale Gase geschieht dies im nachfolgenden Abschnitt.

Für die V-Abhängigkeit gilt bei Konstanz der Temperatur und Stoffmenge

k d ln W max d V = k N V = k n NA V = n R V S V T , n = n R V

Für die T-Abhängigkeit gilt bei Konstanz des Volumens und der Stoffmenge

S T V , n = C V T

Mittels der partiellen Ableitungen kann nun das totale Differenzial der Entropie des idealen Gases bei Konstanz der Stoffmenge angegeben werden:

d S = S T V , n d T + S V T , n d V = C V T d T + n R V d V
Hinweis
Gleichung stellt eine der thermodynamischen Grundgleichungen für ein ideales Gas dar. Es ist außerordentlich bemerkenswert, dass sie das Ergebnis einer statistischen Betrachtung eines Systems aus vielen Teilchen ist, die unterscheidbar sind und zwischen denen keine Wechselwirkungen außer elastischen Stößen stattfinden. Das verbindene Element zwischen Statistik und Thermodynamik ist lediglich die statistische Definition der Entropie S = k ln W max .

Für isobare Zustandsänderungen ist es zweckmässiger, das totale Differenzial der Entropie bezüglich der Variablen Tund p zu formulieren. Die respektiven partiellen Ableitungen entstehen aus Gleichung durch Teilung mit dT (für p konstant) und dp (für T konstant) und Verwendung des idealen Gasgesetzes sowie der Gleichung C p - C V = n R . Das Ergebnis lautet:

d S = S T p , n d T + S p T , n d p = C p T d T - n R p d p
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