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Entropie - Elementare statistische Betrachtung

Mikro- und Makrozustände eines Systems aus gleichenTeilchen

Grundlegend für die statistische Behandlung eines reinen chemischen Stoffes, d.h. eines Systems aus vielen gleichen Teilchen, sind die Begriffe Makrozustand und Mikrozustand. Was darunter zu verstehen ist, lässt sich am Beispiel von Münzen und Würfeln verdeutlichen.

Beispiel 1: Münzen

Wir betrachten Münzen als Teilchen, deren Eigenschaft ihre Seite ist, die sich nach einem Wurf zeigt. Sie kann nur zwei Werte annehmen: Adler = A oder Zahl = Z . Würfe von jeweils N Münzen führen zu verschiedenen Trefferzahlen von A und Z , auch als Verteilungen bezeichnet.

Abb.1
Mögliche Ergebnisse für den Wurf von zwei und drei Münzen
Makro- und Mikrozustände
  • Ein Makrozustand ist charakterisiert durch die Anzahl von A und Z , z. B. ( 2 A , 1 Z ) .
  • Ein Mikrozustand ist eine von mehreren Realisierungsmöglichkeiten eines gegebenen Makrozustands, im Beispiel ( 2 A , 1 Z ) also die drei Mikrozustände A A Z , A Z A und Z A A .

Ein Geldspiel könnte sein, dass für jedes Z nach einem Wurf von N Münzen ein Euro gezahlt wird. Wir wären dann besonders interessiert, wieviel Mikrozustände zu einem Makrozustand mit hoher Z -Zahl gehören. Mit zwei Münzen ist für ( 2 Z ) die Auszahlung doppelt so groß wie für ( 1 A , 1 Z ) aber nur halb so wahrscheinlich.

Es gilt:
  • Die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines gegebenen Makrozustandes ist umso größer, je größer die Zahl seiner Mikrozustände ist. Ihr Symbol ist W.
  • Der kleinste Wert W = 1 entspricht dem am wenigsten wahrscheinlichen Makrozustand, für den alle Münzen Adler oder Zahl zeigen.

Beim Wurf von vier Münzen ergeben sich die fünf Makrozustände kein Z , ein Z , zwei Z , drei Z und vier Z , kurz geschrieben gemäß N Z = 0 , 1 , 2 , 3 bzw. 4 . Dementsprechend ist die Zahl W der Mikrozustände gleich 1, 4, 6, 4 bzw. 1. Bei Münzen folgen also die W-Werte der Binomialverteilung, die hier für N Münzen mit N = N A + N Z folgende Form annimmt.

W = N ( N - 1 ) ( N - 2 ) ( N - N Z + 1 ) N Z !
Hinweis
Gleichung nimmt mittels Brucherweiterung und der Definition der Fakultät N ! := 1 2 3 ( N - 1 ) N eine einfache und leicht merkbare Gestalt an. Definitionsgemäß ist N ! = ( N - 1 ) ! N , woraus für N = 1 die „Null-Fakultät” ihren Wert erhält: 0 ! = 1 .
W = N ( N - 1 ) ( N - 2 ) ( N - N Z + 1 ) ( N - N Z ) ( N - N Z - 1 ) 3 2 1 N Z ! ( N - N Z ) ( N - N Z - 1 ) 3 2 1 = N ! N Z ! ( N - N Z ) ! = N ! N Z ! N A !

Im Beispiel der vier Münzen resultiert im Fall N Z = N A = 2 und N = 4 für die Zahl der Mikrozustände W = 4 ! / ( 2 ! 2 ! ) = 24 / 4 = 6 .

Beispiel 2: Würfel

Wir betrachten Würfel als Teilchen mit der Eigenschaft Augenzahl, die sich nach einem Wurf zeigt. Sie kann sechs Werte annehmen: 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 . Entsprechend Gleichung gilt in diesem Fall für die Zahl der Mikrozustände die Gleichung

W = N ! N 1 ! N 2 ! N 3 ! N 4 ! N 5 ! N 6 ! .
Abb.2
Mögliche Ergebnisse für vier Würfel

Beispielhaft sind hier drei Makrozustände für vier Würfel gezeigt. Die sechs möglichen Werte der Würfeleigenschaft „Augenzahl” sind in Form von Niveaudiagrammen dargestellt, wie sie in vielen Bereichen der Chemie üblich und auch in den folgenden Abschnitten dieser Lerneinheit Verwendung finden. Im linken und im mittleren Fall sind auch die tatsächlichen Augenzahlen der vier Würfel angegeben. Für den rechten Fall lassen sich weitere Details in der Lerneinheit Permutationen finden.

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