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Enthalpie

Adiabaten-Gleichung idealer Gase

Der vorangehende Abschnitt zeigt die Herleitung des Zusammenhangs zwischen den Wärmekapazitäten bei Konstanz von p und V. Für ideale Gase resultiert die Gleichung

Cp - CV = n R .

Gl. (1) ist von Bedeutung für die Änderung der thermischen Zustandsvariablen eines idealen Gases bei einem adiabatischen Prozess. Startpunkt der Betrachtung ist der 1. Hauptsatze und das totale Differenzial der inneren Energie.

d U = d Q - pex d V = CV d T + U V T , n d V

Gemäß Voraussetzung gilt d Q = 0 und die Volumenunabhängigkeit der inneren Energie bei konstanter Temperatur. Weiterhin besteht bei der Zustandsänderung fortwährendes Druckgleichgewicht p pex , womit aus Gl. (2) entsteht:

- p d V = - n R T V d V = CV d T - n R d V V = CV d T T .

Integration für eine Zustandsänderung von 1 nach 2 führt mit Gl. (1) auf

- n R   ln V2 V1 = CV   ln T2 T1 ln V1 V2 Cp - CV = ln T2 T1 CV T2 T1 = V1 V2 Cp - CV CV .
Hinweis
Das Verhältnis der Wärmekapazitäten Cp/CV wird als Adiabatenkoeffizient bezeichnet. Sein Symbol ist γ (IUPAC-Norm, in älteren Lehrbüchern auch κ ).

Für konstante Stoffmenge ändern sich bei einem adiabatischen Prozess - anders als beim isothermen - alle drei thermischen Zustandsvariablen. Drei Bestimmungsgleichungen lassen sich mit dem idealen Gasgesetz aus Gl. (4) unter Verwendung von γ = Cp / CV herleiten.

Adiabaten-Gleichungen
(a) T2 T1 = V1 V2 γ - 1 (b) T2 T1 = p2 p1 γ - 1 γ (c) p1 V 1 γ = p2 V 2 γ mit γ := Cp CV
Zahlenbeispiel
Tab.1
Druckverhältnis als Funktion des Adiabatenkoeffizienten γ , wenn das Volumen eines idealen Gases adiabatisch auf die Hälfte reduziert wird
Adiabatenkoeffizient 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,667
p2/p1 2 2,143 2,296 2,460 2,637 3,177
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