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Volumenarbeit

Reversible isotherme Expansion (Druckgleichgewicht)

In den Fällen A, B, C der vorangehenden Abschnitten befindet sich das Gas nach Fortnahme eines der Gewichte nicht mehr im Druckgleichgewicht. Der Stempel bewegt sich nach oben und schwingt sich je nach Reibung mehr oder weniger schnell auf die Endlage ein. Lässt sich eine Expansion so durchführen, dass fortwährend Druckgleichgewicht besteht? Eigentlich nicht, denn der Stempel bewegt sich nur nach oben, wenn der Gasdruck p größer ist als pex.

Andererseits leuchtet es ein, dass wir das ursprüngliche Druckgleichgewicht bei 2 p0 und V0 nahezu erhalten, wenn die Verschiebemasse m / N extrem klein gewählt wird. Allerdings müssen wir dann sehr viele dieser Massen vom Stempel herunterschieben, die gesamte Expansion benötigt wegen der großen Zahl N von Einzelschritten eine erhebliche Zeit.

Im Grenzfall m / N d m sind es sogar unendlich viele Schritte und jeder ist unendlich langsam, da bis auf den unendlich kleinen Druckunterschied d p (wegen d m 0 ) der Gasdruck p gleich dem Außendruck pex ist. Unter diesen Umständen ist natürlich die isotherme Expansion des idealen Gases praktisch nicht durchführbar. Sie stellt ein hypothetisches Experiment oder Gedankenexperiment dar.

Wenn auch das Ergebnis eines Gedankenexperiments nicht durch Messung zugänglich ist, so können wir es doch oft mit den Methoden der Mathematik berechnen! Hier zum Beispiel kommt die Integralrechnung zur Anwendung. In jedem Teilschritt der Expansion wird der Druck von p auf p - d p reduziert und die Einstellung des Volumens abgewartet. Die entsprechende Volumenänderung d V ist unendlich klein ebenso wie die Teilarbeiten

d Wvol = - p d V .
Tab.1
Infinitesimale Teilarbeiten der isothermen Expansion bei Volumenverdoppelung
Anfangszustand V Anfang = V0 p Anfang = 2 p0       
1. Schritt V0 V1 = V0 + d V 2 p0 p1 = 2 p0 - d p    d W1 = - p1 d V
2. Schritt V1 V2 = V1 + d V p1 p2 = p1 - d p    d W2 = - p2 d V
  
N. Schritt V N - 1 V N = V N - 1 + d V p N - 1 p N = p N - 1 - d p    d WN = - pN d V
Endzustand V N = V Ende = 2 V0 p N = p Ende = p0       

 Die gesamte Arbeit für die Volumenverdoppelung erhalten wir, indem wie in den Fällen A - C der vorangehenden Abschnitte die Teilarbeiten summiert werden. Hier sind es die unendlich vielen, unendlich kleinen Teilarbeiten:

d W1 + d W2 + d W3 + + d WN mit N .

Diese Summe ist nichts anderes als die Integration

d Wvol = d W = - p d V .

Für das ideale Gas ist der Druck als Funktion von V bekannt: p = n R T / V . Unter Berücksichtigung von 2 p0 V0 = n R T = p0 2 V0 ergibt die Integration von V0 bis 2 V0

Wvol = - V0 2 V0 n R T V d V = - 2 p0 V0 ln 2 V0 V0 = - 2 p0 V0 ln 2 = - 1,3863 p0 V0

Im p/V -Diagramm lässt sich die isotherme Expansion wie folgt darstellen.

Abb.1
Graphische Darstellung der Expansion

Die Expansion verläuft entlang der Isothermen (Temperatur T bestimmt durch den Thermostaten) von Zustand 1 nach 2. Immer gilt p gas = pex . Die Fläche unter der Kurve erreicht für diesen Weg ihren maximal möglichen Wert und damit die maximal mögliche Volumenarbeit .

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