Virialkoeffizienten gemäß der van der Waals'schen Zustandsgleichung

Die Van-der-Waals-Gleichung lautet:

$$\left(\mathit{p}+\frac{\mathit{a}}{{{\mathit{V}}_{\text{m}}}^2}\right)({\mathit{V}}_{\text{m}}-\mathit{b})=\mathit{R}\mathit{T}$$

und der Kompressionsfaktor $\mathit{Z}$ in der Virialgleichung ist definiert gemäß:

$$\mathit{Z}:=\frac{\mathit{p}{\mathit{V}}_{\text{m}}}{\mathit{R}\mathit{T}}$$

Auflösung der Van-der-Waals-Gleichung nach $\mathit{p}$ ergibt:

$$\mathit{p}=\frac{\mathit{R}\mathit{T}}{{\mathit{V}}_{\text{m}}-\mathit{b}}-\frac{\mathit{a}}{{{\mathit{V}}_{\text{m}}}^2}$$

sodass nach Multiplikation mit ${\mathit{V}}_{\text{m}}/\mathit{R}\mathit{T}$ der Kompressionsfaktor für ein „van der Waals'sches Gas” resultiert:

$$\mathit{Z}:=\frac{\mathit{p}{\mathit{V}}_{\text{m}}}{\mathit{R}\mathit{T}}=\frac{{\mathit{V}}_{\text{m}}}{{\mathit{V}}_{\text{m}}-\mathit{b}}-\frac{\mathit{a}}{\mathit{R}\mathit{T}{\mathit{V}}_{\text{m}}}$$

Um die Differenz der Brüche in Gleichung mit der Potenzreihe des Virialansatzes vergleichen zu können, muss die Polynom-Division des ersten Terms ausgeführt werden:

$${\mathit{V}}_{\text{m}}:({\mathit{V}}_{\text{m}}-\mathit{b})=1+\frac{\mathit{b}}{{\mathit{V}}_{\text{m}}}+\frac{{\mathit{b}}^2}{{{\mathit{V}}_{\text{m}}}^2}+...$$

Gleichung verwendet in Gleichung und Zusammenfassung gleicher Potenzen führt schließlich auf die Virialgleichung für das „van der Waals'sche Gas”:

$$\mathit{Z}:=\frac{\mathit{p}{\mathit{V}}_{\text{m}}}{\mathit{R}\mathit{T}}=1+\left(\mathit{b}-\frac{\mathit{a}}{\mathit{R}\mathit{T}}\right)\frac{1}{{\mathit{V}}_{\text{m}}}+{\mathit{b}}^2\frac{1}{{{\mathit{V}}_{\text{m}}}^2}+{\mathit{b}}^3\frac{1}{{{\mathit{V}}_{\text{m}}}^3}+...$$

Für den zweiten und dritten Virialkoeffizienten, $\mathit{B}$ bzw. $\mathit{C}$, ergibt sich somit:

$$\mathit{B}\left(\mathit{T}\right)=\mathit{b}-\frac{\mathit{a}}{\mathit{R}\mathit{T}}\text{und}\mathit{C}={\mathit{b}}^2$$