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Stoßfrequenz und Stoßdichte in Gasen

Herleitung der mittleren Relativgeschwindigkeit

Das Ziel ist, die mittlere Relativgeschwindigkeit zweier stoßender Teilchen eines Gases zu bestimmen. Dafür sei zunächst der Stoßvorgang näher betrachtet, um den Begriff Relativgeschwindigkeit zu verdeutlichen.

Die Relativgeschwindigkeit

Ausgangspunkt sind zwei Teilchen mit der Masse m1 und m2 . Ihre Geschwindigkeiten c 1 = d r 1 / d t und c 2 = d r 2 / d t sind konstant, die Vektoren definieren eine Ebene des Raumkoordinatensystems. Ohne Verlust an Allgemeinheit können wir sie als parallel zur x , y -Ebene annehmen, was die Darstellung der Bewegung beider Teilchen erleichtert. Die folgende Abbildung zeigt das Geschehen bis zum Stoß beider Teilchen (roter und blauer Kreis).

Abb.1
Stoß zweier Teilchen 1 und 2

Absolutes x,y-Ortskoordinatensystem

  • roter Kreis: Teilchen 1, Masse m1 = 4 a
  • blauer Kreis: Teilchen 2, Masse m2 = a

Der rote und blaue Kreis symbolisieren reale Teilchen als harte Kugeln. Der Abstand ihrer Mittelpunkte kann nicht kleiner sein als die halbe Summe ihrer Durchmesser. Die Animation dauert bis zum Moment des Stoßes. Teillagen können mittels der Knöpfe und des Schiebers des Abspielprogramms betrachtet werden.

Für das Zustandekommen eines Stoßes sind nicht die Teilchenschnelligkeiten c 1 und c 2 das entscheidende Maß, sondern die Relativgeschwindigkeit c 12 = d ( r 2 - r 1 ) / d t . In solchen Fällen ist es zweckmäßig, als beschreibende Koordinaten den Ortsvektor r S = ( m1 r 1 + m2 r 2 ) / ( m1 + m2 ) des Schwerpunkts und den Abstandsvektor r 12 = r 2 - r 1 der beiden stoßenden Teilchen zu verwenden. Zwischen beiden Koordinatenansätzen besteht der Zusammenhang

r 1 = r S - m2 m1 + m2 r 12

und

r 2 = r S + m1 m1 + m2 r 12 .

Die Ortsvektoren r S und r 12 beschreiben den Stoßvorgang wie folgt.

  • Die tatsächliche Bewegung zweier realer Teilchen 1 und 2 in einem Koordinatensystem wird formuliert als Bewegung je eines fiktiven Teilchens in zwei verschiedenen Koordinatensystemen.
  • Das erste fiktive Teilchen besitzt die Masse m = m1 + m2 . Seine momentane Lage zeigt das absolute Koordinatensystem (schwarzer Kreis, Abb. 2, links).
  • Das zweite fiktive Teilchen besitzt die Masse μ = m1 m2 / m1 + m2 . Seine momentane Lage zeigt das relative Koordinatensystem (schwarzer Kreis, Abb. 2, rechts), welches seinen Ursprung am Ort des Teilchens 1 hat und somit im absoluten Koordinatensystem dem Weg des realen Teilchens 1 folgt. Im Moment des Stoßes erreicht das fiktive Teilchen den kleinst möglichen Abstand vom Ursprung, also die halbe Durchmessersumme der Teilchen 1 und 2.
Abb.2
Stoß zweier Teilchen 1 und 2: Schwerpunktsbewegung und Relativbewegung

links: Absolutes Ortskoordinatensystem x, y schwarzer Kreis: Schwerpunktsbewegung eines fiktiven Teilchens mit der Masse m = m1 + m2 = 5 a Die Teilchen 1 und 2 sind auch gezeigt. rechts: Relatives Ortskoordinatensystem schwarzer Kreis: : Bewegung eines fiktiven Teilchens mit der reduzierten Masse m = 4 a a / ( 4 a + a ) = 0.8 a . Abzisse: x 2 - x 1 Ordinate: y 2 - y 1

Hinweis
In Abb. 2,links symbolisiert der schwarze Kreis das fiktive Teilchen mit der Massensumme (siehe Legende), sein Mittelpunkt ist gleich dem Schwerpunkt der beiden realen Teilchen. Deswegen liegt beim Stoß der schwarze Kreis über dem roten und blauen Kreis.

Mit der Einführung der Schwerpunkts- und Relativbewegung verbindet sich auch eine geänderte Aufteilung der gesamten kinetischen Energie. Dafür ersetzen wir in

Ek = ½ m1 c 1 2 + ½ m2 c 2 2

die Geschwindigkeitsquadrate der Teilchen 1 und 2 durch die Skalarprodukte der Zeitableitungen der Gln. (1) und (2). Umformung führt auf das Ergebnis

Ek = ½ m1 c 1 2 + ½ m2 c 2 2 = ½ m c S 2 + ½ μ c 2 ,

das wir weiter unten noch verwenden werden.

Mittelung der Relativgeschwindigkeit in einer Dimension

Die wesentlichen mathematischen Schritte der Mittelung zeigen sich bereits beim eindimensionalen Stoßvorgang. Die Stoßachse legen wir dafür in die x -Richtung des absoluten Koordinatensystems. Die Geschwindigkeitskomponenten in dieser Richung bezeichnen wir der einfacheren Schreibweise wegen c 1 und c 2 , der Achsenindex „ x ” bleibt unerwähnt. Die Mittelung der Relativgeschwindigkeit geschieht gemäß

c 2 - c 1 = c 12 = c¯ 12 = a b a b ( c 2 - c 1 ) f 1 ( c 1 ) f 2 ( c 2 ) d c 1 d c 2 .

Die Grenzen a und b sind so zu setzen, dass nur bei bestimmten Werten für c 1 und c 2 ein Stoß stattfindet (siehe weiter unten). Die beiden Verteilungsdichtefunktionen für die Geschwindigkeitskomponenten in x -Richtung lauten

Teilchen 1 Teilchen 2 f 1 ( c 1 ) = m1 2 π k T 1 / 2 exp - m1 c 1 2 2 k T und m2 2 π k T 1 / 2 exp - m2 c 2 2 2 k T .

Ihr Produkt lässt sich als Funktion der Schwerpunkts- und Relativgeschwindigkeit angeben. Mit den obigen Definitionen und der Gleichung für die kinetische Energie resultiert die folgende Umformung.

f 1 ( c 1 ) f 2 ( c 2 ) = m1 2 π k T m2 2 π k T 1 / 2 exp - m1 c 1 2 + m2 c 2 2 2 k T = m1 2 π k T m 1 + m 2 m 1 + m 2 m2 2 π k T 1 / 2 exp - m1 c 1 2 + m2 c 2 2 2 k T = m 1 + m 2 2 π k T 1 / 2 m1 m 2 / ( m 1 + m 2 ) 2 π k T 1 / 2 exp - m1 c 1 2 + m2 c 2 2 2 k T = m 2 π k T 1 / 2 μ 2 π k T 1 / 2 exp - m c S 2 + μ c 12 2 2 k T = m 2 π k T 1 / 2 - m c S 2 2 k T μ 2 π k T 1 / 2 exp - μ c 12 2 2 k T = f S ( c S ) × f 12 ( c 12 )

Wir kennen nun die Verteilungsdichtefunktionen f S ( c S ) und f 12 ( c 12 ) für die Schwerpunkts- bzw. Relativgeschwindigkeit. Zur Durchführung der Integration Gl. (5) fehlt uns noch die Transformation von d c 1 d c 2 nach d c S d c 12 . Mittels

c 1 = c S - ( 1 - α ) c 12 und c 2 = c S + α c 12 mit α : = m 1 m 1 + m 2

geschieht dies mit dem Betrag der Funktionaldeterminante D wie im Folgenden gezeigt.

d c 1 d c 2 = | D | d c S d c 12 = c 1 c S c 1 c 12 c 2 c S c 2 c 12 d c S d c 12 = 1 - ( 1 - α ) 1 α d c S d c 12 = | α - [ - ( 1 - α ) ] | d c S d c 12 = | 1 | d c S d c 12 = d c S d c 12

Wir können nun die Integration Gl. (5) bezüglich der Schwerpunkts- und Relativgeschwindigkeit durchzuführen. Im Fall des Schwerpunkts sind alle Geschwindigkeiten von - bis zu berücksichtigen. Also gilt

c¯ 12 = - a ' b ' c 12 f S ( c S ) f 12 ( c 12 ) d c S d c 12 = - f S ( c S ) d c S × a ' b ' c 12 f 12 ( c 12 ) d c 12 .

Wie gezeigt lässt sich das Integral in zwei zerlegen. Das Erste erstreckt sich über die Schwerpunktskoordinaten mit dem Integranden Eins. Wegen der Normierung von f S ( c S ) ist es für die angegebenen Integralgrenzen gleich Eins. Es verbleibt

c¯ 12 = a ' b ' c 12 f 12 ( c 12 ) d c 12 mit f 12 ( c 12 ) = μ 2 π k T 1 / 2 exp - μ c 12 2 2 k T .

Zur Lösung des Integrals Gl. (11) müssen wir als Letztes die Integralgrenzen a ' und b ' so setzen, dass von den Differenzen c 2 - c 1 nur jene Werte in die Integration eingehen, für die der Stoß der Teilchen 1 und 2 zustande kommt. In welchen Fällen dies passiert zeigt die folgende Abbildung für die acht möglichen Fälle von c 2 und c 1 .

Abb.3
Absolutgeschwindigkeiten c 1 und c 2 Relativgeschwindigkeit c 12 = c 2 - c 1 in einer Dimension

Die Pfeile in der mittleren und untersten Zeile zeigen dimensionslose Vektoren, die aus den Vektoren c 1 , c 2 und c 12 durch Division mit einem Geschwindigkeitsbetrag c 0 entstehen. Die Summe der Wahrscheinlichkeiten in der mittleren Zeile (Stoß tritt ein) ist gleich jener in der untersten Zeile (Stoß tritt nicht ein).

Ein Stoß findet gemäß der mittleren Zeile in der Abbildung nur statt, wenn die Relativgeschwindigkeit negativ und nicht null ist. Dies entspricht in der obigen rechten Animation der Bewegung des fiktiven Teilchens zum Nullpunkt des relativen Koordinatensystems. Bei der Integration sind demgemäß nur die Werte im halboffenen Intervall [ - , 0 ) zu berücksichtigen. Allerdings können wir auch die Null einschließen, da ja der Integrand an dieser Stelle gleich null ist.

Schließlich ein letzter Punkt: Es ist üblich, den Betrag der Relativgeschwindigkeit anzugeben. Sein Symbol ist c 12 , mit dem wir zur Schreibvereinfachung bis hier die x -Komponente c 12 x der Relativgeschwindigkeit kennzeichneten. Diese Notierung können wir beibehalten, da die Verteilungsdichtefunktion f 12 ( c 12 ) symmetrisch um Null ist. Folglich entsteht das korrekte Ergebnis für den Betrag der Relativgeschwindigkeit, wenn wir die Integrationsgrenzen von 0 bis + setzen.

c¯ 12 = 0 c 12 f 12 ( c 12 ) d c 12 mit f 12 ( c 12 ) = μ 2 π k T 1 / 2 exp - μ c 12 2 2 k T .

Die Integration ist mittels des bekannten bestimmten Integrals leicht durchführbar jedoch für das Weitere und das eigentliche Ziel nicht erforderlich.

Mittelung der Relativgeschwindigkeit im Raum

Die vorangehende eindimensionale Betrachtung des Stoßvorgangs diente der Verdeutlichung der grundlegenden Behandlung des Stoßvorgangs. Für die Mittelung im Raum sind nun noch die folgende Änderungen und Ergänzungen vorzunehmen.

  1. Die Relativgeschwindigkeit für eine beliebige Raumlage der Stoßachse ist gegeben durch c 12 r = ± ( c 2 x - c 1 x ) 2 + ( c 2 y - c 1 y ) 2 + ( c 2 z - c 1 z ) 2 = ± c 12 x 2 + c 12 y 2 + c 12 z 2 .
  2. Auch im Raum ist die Bewegung des Schwerpunkts ohne Einfluss auf die Mittelung. Es verbleibt das Integral bezüglich der Komponenten c 12 x , c 12 y und c 12 z der Relativgeschwindigkeit. c¯ = B c 12 f 12 x ( c 12 x ) f 12 y ( c 12 y ) f 12 z ( c 12 z ) d c 12 x d c 12 y d c 12 z mit f 12 x ( c 12 x ) f 12 y ( c 12 y ) f 12 z ( c 12 z ) = μ 2 π k T 3 / 2 exp - μ ( c 12 x 2 + c 12 y 2 + c 12 z 2 ) 2 k T = μ 2 π k T 3 / 2 exp - μ c 12 2 2 k T =: f 12 ( c 12 ) . Hinweis: Das Integral Gl. (14) ist ein Mehrbereichsintegral im „Geschwindigkeitsraum”. In der Mathematik sind solche Integrale für die drei allgemeinen Variablen x , y , z formuliert. In Chemie und Physik haben sie verschiedene Bedeutungen, z. B. die der Raumkoordinaten eines Massenpunkts oder der Geschwindigkeitskomponenten wie hier. Das Symbol „ B ” gibt den Bereich an, über den zu integrieren ist.
  3. Alle Raumrichtungen der Stoßachse sind gleichwahrscheinlich, es liegt ein kugelsymmetrischer Fall vor. In jeder Achse ist die Relativgeschwindigkeit mit gleicher Wahrscheinlichkeit positiv oder negativ. Für negative Werte bewegen sich die Teilchen 1 und 2 aufeinander zu, bis sie zusammenstoßen. Wir wählen jedoch den Betrag c 12 der Relativgeschwindigkeit, der die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzt (s. auch eindimensionale Fall oben). Damit vereinfachen wir die Integration Gl. (14) erheblich, da nun die für den Stoß relevanten Komponenten der Relativgeschwindigkeit analog zu den Kugelkoordinaten r , ϕ , θ formuliert werden können. Das Resultat für die Integrationsvariablen und das Volumenelement im Geschwindigkeitsraum ( c 12 x , c 12 y , c 12 z ) ist nachfolgend aufgeführt. GeschwindigkeitskomponentenundihreWertebereiche: c 12 x [ - , ] c 12 x = c 12 cos c ϕ sin c θ c 12 x [ 0 , ] c 12 y [ - , ] c 12 y = c 12 sin c ϕ sin c θ ϕ [ 0 , 2 π ] c 12 z [ - , ] c 12 z = c 12 cos c θ θ [ 0 , π ] Volumenelemente d c 12 x d c 12 y d c 12 z = c 12 2 sin θ d c 12 d c ϕ d c θ
  4. Die Überlegungen in Punkt 3 führen auf folgende Form des Mehrfachintegrals zur Berechung der mittleren Relativgeschwindigkeit. c¯ 12 = 0 π 0 2 π 0 c 12 f 12 ( c 12 ) c 12 2 sin θ d c 12 d c ϕ d c θ = 0 π sin θ d c θ 0 2 π d c ϕ 0 c 12 3 f 12 ( c 12 ) d c 12 Das erste Integral für die Variable c θ hat den Wert 2. Das zweite Integral für die Variable c ϕ hat den Wert 2 π . Es verbleibt das Integral c¯ 12 = 4 π μ 2 π k T 3 / 2 0 c 12 3 exp - μ c 12 2 2 k T d c 12 was typgleich ist mit 0 x 3 exp ( - a x 2 ) d x = 1 2 a 2 . Gemäß des angegebenen Standardintegrals erhalten wir mit a = μ / 2 k T c¯ 12 = 4 π μ 2 π k T 1 / 2 μ 2 π k T 4 k 2 T 2 2 μ 2 = μ 2 π k T 1 / 2 4 k T μ = 16 k 2 T 2 μ 2 π k T μ 2 1 / 2 = 8 k T π μ 1 / 2 und damit das Endergebnis der Herleitung.
Mittlere Relativgeschwindigkeit c¯ 12 zweier stoßender Teilchen 1 und 2
c¯ 12 = 8 k T π μ 1 / 2
Zusammenhang zwischen den mittleren Geschwindigkeitsquadraten

Das Quadrat der mittleren Relativgeschwindigkeit führt mit der Definition der reduzierten Masse auf einen interessanten Zusammenhang mit den mittleren Schnelligkeiten der Teilchen 1 und 2. Es gilt

c¯ 12 2 = 8 k T π μ = 8 k T π 1 m1 + 1 m2 = c¯ 1 2 + c¯ 2 2 .

Die drei mittleren Geschwindigkeiten befolgen den Satz von Pythagoras. Folglich stehen die mittleren Schnelligkeiten der Teilchen 1 und 2 senkrecht zueinander, d. h. die Teilchen treffen am häufigsten im rechten Winkel aufeinander.

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