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Mittlere freie Weglänge von Gasteilchen

Die mittlere freie Weglänge

Unter der mittleren freien Weglänge λ versteht man die Strecke, die ein Gasteilchen im Mittel zurücklegt, bevor es mit einem anderen Teilchen zusammenstößt.

Abb.1
N Teilchen linear geordnet
Abb.2
N Teilchen gestapelt geordnet

λ lässt sich wie folgt abschätzen.

  • Die Teilchen besitzen den Durchmesser d und somit eine Querschnittsfläche von 1 4 π d 2 . Die Flugstrecke zwischen zwei Stößen sei Δ l . Ein Teilchen durchläuft also ein Zylindervolumen ΔV = 1 4 π d 2 Δ l .
  • Wir denken uns nun diese Röhren aller N Teilchen als linear geordnet und von gleicher mittlerer Weglänge λ . Die Stöße erfolgen regelmäßig in Paaren. Die Pfeillänge in der Animation (links) ist gleich λ .
  • Schließlich denken wir uns für alle N Teilchen diese Zylinder der Länge λ geordnet gestapelt (s. Abb. 2). Das Gesamtvolumen muss dem Gasvolumen ungefähr gleich sein. Also folgt V = N 1 4 π d 2 λ woraus folgt λ 1 π r 2 ( N V ) . Der Quotient N V ist die Teilchendichte des Gases.

Genaue Herleitung von λ

Sie basiert auf der Stoßfrequenz z 11 gleicher Teilchen. Ein Teilchen mit der mittleren Geschwindigkeit c ¯ legt in der Zeit Δt die Strecke c ¯ Δt zurück. In dieser Zeit erfährt es z 11 Δt Stöße. Also ist die mittlere freie Weglänge gegeben durch den Quotienten Strecke/Stöße.

λ = c ¯ Δt z 11 Δt = c ¯ π d 11 2 c ¯ ( N V ) = ( 8 k T π m ) 1 2 π d 11 2 ( 8 k T π μ ) 1 2 ( N V )

Die Teilchenmasse m und die reduzierte Masse μ gleicher Teilchen unterscheiden sich durch den Faktor 2. Dies führt zum Faktor 2 im Nenner. Damit entsteht schließlich folgendes Ergebnis.

Maxwell'sche mittlere freie Weglänge:
λ = 1 2 ¯ π d 2 N V
Hinweis
Die Gleichung zeigt, dass die mittlere freie Weglänge allein von der Teilchendichte und dem Durchmesser der Teilchen abhängig ist. Allerdings gilt N V = p NA R T gemäß des idealen Gasgesetzes. Demnach ist die mittlere freie Weglänge bei konstanter Temperatur vom Druck abhängig. Es gilt λ 1 p .

Diese Befunde über die mittlere freie Weglänge werden bei der Erzeugung eines Hochvakuums verwendet.

Beispiel

Der Teilchendurchmesser d lässt sich aus der Dichte des kondensierten Gases abschätzen. Für Xenon führt das auf den Wert d = 0.4 nm . Im Gaszustand bei 298,15K und 1bar (SATP) beträgt die Teilchendichte

N V = NA Vm = 6,022 10 23 mol-1 24,790 Lmol-1 = 2,429 10 22 L-1 .

Es resultiert eine mittlere freie Weglänge von λ 43 nm . Sie ist etwa hundertmal größer als der Durchmesser der Teilchen.

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