zum Directory-modus

Maxwell'sche Geschwindigkeitsverteilung

Zur Herleitung der Geschwindigkeitsverteilungsdichtefunktion

Kinetische Druckformel und ideales Gasgesetz zusammen zeigen, dass die Temperatur des Gases proportional der mittleren kinetischen Energie 1 / 2 m c2¯ der Gasteilchen ist. Umgekehrt ist die Teilchenschnelligkeit eine Funktion von T und m . Also müssen beide Größen auch Parameter der Verteilungsdichten f x ( c ) und F ( c ) für die Geschwindigkeitskomponente c x bzw. Schnelligkeit c sein. Die Herleitung beider Funktionen lässt sich in acht Abschnitte gliedern.

  1. Mittelwert der Geschwindigkeitskomponenten
  2. Verteilungsdichtefunktionen der Quadrate
  3. Gleichheit aller Achsenlagen
  4. Analytischer Ansatz für die Verteilungsdichte der Komponenten f ( c x ; α , β )
  5. Normierung von f Bestimmung des Parameters α f ( c x ; β )
  6. Beispiel Gasdruck Bestimmung des Parameters β f ( c x ; m T )
  7. Analytischer Ansatz für den Mittelwert der Teilchenschnelligkeit c
  8. Winkelintegration Verteilungsdichtefunktion F ( c ) der Teilchenschnelligkeit

Punkt 1

Das Gas als Ganzes ist in Ruhe, also muss der Mittelwert der Geschwindigkeitskomponenten Null sein.

c¯ x = 0 c¯ y = 0 c¯ z = 0

Folglich ist f x ( c x ) eine symmetrische Funktion: f x ( c x ) = f x ( - c x ) . Zweckmäßiger ist es deswegen, nicht die Funktion f x ( c x ) zu suchen sondern g x ( c x 2 ) . So ist die Symmetriebedingung von vorneherein erfüllt.

Punkt 2

Wir betrachten die Geschwindigkeit eines Teilchens zu einem beliebigen Zeitpunkt. Das Koordinatensystem ist vom Beobachter so gelegt, dass der Vektor nicht entlang einer der drei Koordinatenachsen liegt. Für die drei von Null verschiedenen Komponentenquadrate c x 2 , c y 2 und c z 2 ist die Wahrscheinlichkeitsdichte gleich dem Produkt der Einzelwahrscheinlichkeitsdichten für die drei Raumrichtungen, also gleich g x ( c x 2 ) g y ( c y 2 ) g z ( c z 2 ) . Die positive oder negative Wurzel aus

c 2 = c x 2 + c y 2 + c z 2

gibt wiederum Richtung und Länge des Vektors in der Achse der Geschwindigkeit an. Die entsprechende Verteilungsdichtefunktion ist nun g c ( c 2 ) . In beiden Betrachtungen muss die gleiche Wahrscheinlichkeitsdichte resultieren, also gilt

g c ( c 2 ) = g x ( c x 2 ) g y ( c y 2 ) g z ( c z 2 ) .

Punkt 3

Es gibt keine Vorzugslage des Koordinatensystems, die Wahl in Punkt 2 ist eine von vielen. Für denselben Vektor in Punkt 2 könnte ein zweiter Beobachter die x -Achse entlang dieses Vektors gelegt haben. Was für Beobachter 1 also g c ( c 2 ) ist, wäre für Beobachter 2 dann g x ( c x 2 ) . In beiden Betrachtungen muss die gleiche Wahrscheinlichkeitsdichte resultieren, sie ist unabhängig von der Lage der Achse. Also folgt

g c = g x = g y = g z = g .

Punkt 4

Punkt 2 und 3 legen der gesuchten Funktion g die folgende Bedingung auf.

g ( c 2 ) = g ( c x 2 + c y 2 + c z 2 ) = g ( c x 2 ) g ( c y 2 ) g ( c z 2 )

Diese Funktionalbeziehung erfüllt nur die Potenzfunktion bei beliebiger Basis. Wählen wir die Eulersche Zahl e als Basis, so gilt z. B.

e x + y = e x e y .

Demnach hat die gesuchte Verteilungsdichtefunktion für die Geschwindigkeitskomponenten in einer Achse die analytische Form

g ( c x 2 ) = f ( c x ) = α exp ( - β c x 2 ) .
Hinweis
Die Konstante α ist so zu bestimmen, dass das Integral über f von c x = - bis c x = gleich eins ist. Man bezeichnet dies auch als Normierung (s. Pkt. 5).
Das negative Vorzeichen im Exponenten sorgt dafür, dass f bei großen Geschwindigkeiten gegen Null geht. Andernfalls wäre die kinetische Energie des Gases unbeschränkt.
Die Konstante β lässt sich mittels eines konkreten Falls bestimmen, z. B. des Gasdrucks (s. Pkt. 6).

Punkt 5

Was bedeutet Normierung? Betrachten wir kurz eine Grundregel. Die Wahrscheinlichkeit P des Eintretens zweier Ereignisse A oder B ist gleich der Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten für A und B. Üblicherweise gilt P = 1 , wenn ein Ereignis eintritt, und P = 0 wenn nicht. Alle anderen Möglichkeiten liegen zwischen den Werten 0 und 1. Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten irgendeines Wertes der Geschwindigkeitskomponente c x des Gesamtintervalls [ - , ] muss gleich eins und gleich der Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten f ( c x ) d c x sein. Letzteres ist aber nichts Anderes als das Normierungsintegral

1 = - f ( c x ) d c x = α - exp ( - β c x 2 ) d c x = α π β 1 / 2 .

Die Integration basiert auf einem Standardintegral, das Ergebnis ist in der Gleichung ganz rechts notiert. Für die gesuchte Funktion f entsteht somit das folgenden Zwischenergebnis.

Normierte Verteilungsdichtefunktion für die Geschwindigkeitskomponente entlang einer Achse
f ( c x ) = β π 1 / 2 exp ( - β c x 2 ) Der Parameter β ist noch unbekannt.

Der Parameter β ist noch unbekannt.

Punkt 6

Es ist nun noch der Parameter β in der normierten Verteilungsdichtefunktion f ( c x ) zu bestimmen. Hierfür eignet sich besonders eine Betrachtung des Gasdruck auf eine Fläche A , deren Normalenvektor entlang der x -Achse liegt. Für diesen Druck erhielten wir an anderer Stelle unter der Annahme gleicher Komponenten c x der Geschwindigkeit aller Teilchen die Gleichung

p = Fx A = 2 m c x 2 N V N = Anteil aller N Teilchen deren c x -Komponentenvektor zur Fläche weist.

Mit der normierten Verteilungsdichtefunktion f ( c x ) sind wir jetzt in der Lage, den Mittelwert für c x 2 zu berechnen:

p = 2 m N V 0 c x 2 f ( c x ) d c x = n R T V = N R T NA V = N k T V .

Die Grenzen der Integration selektieren jene von allen N Teilchen, die sich zur Fläche A bewegen. Deswegen steht vor dem Integral der Faktor N und nicht N . Rechts in der Gleichung ist der Druck gemäß des idealen Gasgesetzes gleichgesetzt worden, womit die Temperatur ins „Geschäft” kommt. Das Ausrufungszeichen betont die zu fordernde Gleichheit der mikroskopischen kinetischen mit der makroskopischen thermodynamischen Betrachtung. Mit dieser Bedingung entsteht nach Kürzen von N / V eine Bestimmungsgleichung für den gesuchten Parameter β :

β π 1 / 2 0 c x 2 exp ( - β c x 2 ) d c x = k T 2 m = β π 1 / 2 1 4 π β 3 1 / 2 = 1 4 β β = m 2 k T

Die Integration geschieht wie in Pkt. 5 per Standardintegral. Das Ergebnis ist in der Gleichung rechts notiert. Umformung führt auf den gesuchten Parameter β der - wie eingangs erwähnt - eine Funktion der Temperatur und der Masse der Teilchen ist. Damit sind wir am ersten Etappenziel angelangt, der Verteilungsdichtefunktion für die Geschwindigkeitskomponenten entlang einer beliebigen Achse des Koordinatensystems.

Verteilungsdichtefunktion für die Geschwindigkeitskomponente entlang einer beliebigen Achsenrichtung
Verteilungsdichtefunktion für die Geschwindigkeitskomponente entlang einer beliebigen Achsenrichtung, z.B. in x -Richtung:
f ( c x ) = m 2 π k T 1 / 2 exp - m c x 2 2 k T

Punkt 7

Mit der bekannten Verteilungsdichtefunktion für die drei Geschwindigkeitskomponenten c x , c y und c z kann nun auch der Mittelwert der Schnelligkeit c der Teilchen berechnet werden. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Werte dieser drei Vektorkomponenten in den Intervallen

[ c x , c x + d c x ] und [ c y , c y + d c y ] und [ c z , c z + d c z ]

liegt, ist gegeben durch das Produkt der drei Einzelwahrscheinlichkeiten

f ( c x ) d c x f ( c y ) d c y f ( c z ) d c z = f ( c x ) f ( c y ) f ( c z ) d c x d c y d c z .

Der Mittelwert der Schnelligkeit ist somit gleich dem Dreifachintegral

c¯ = B c f ( c x ) f ( c y ) f ( c z ) d c x d c y d c z mit c = + c x 2 + c y 2 + c z 2 .

Das Produkt der drei Einzelwahrscheinlichkeiten vereinfacht sich gemäß

f ( c x ) f ( c y ) f ( c z ) = m 2 π k T 3 / 2 exp - m ( c x 2 + c y 2 + c z 2 ) 2 k T = m 2 π k T 3 / 2 exp - m c 2 2 k T ,

so dass gilt

c¯ = m 2 π k T 3 / 2 B c exp - m c 2 2 k T d c x d c y d c z

Der Integrationsbereich B umfasst den gesamten Wertebereich der drei Geschwindigkeitskomponenten. Der Integrand des Dreifachintegrals ist allerdings allein eine Funktion von c . Deswegen kann die Integration sehr einfach für alle jene „Volumenelemente” d c x d c y d c z vorgenommen werden, die bei gleichen c -Werten liegen. Anders ausgedrückt: Die Integration ist nicht vom Winkel abhängig, den die Vektoren gleicher Schnelligkeit mit den Koordinatenachsen bilden.

Abb.1
„Geometrische” Integration des Winkelanteils im Mittelungintegral

Die Abbildung zeigt eine c x , c y -Schnittebene durch den Ursprung des c x , c y , c z -Raums. Der graue Ring markiert alle „Volumenelemente” Δ c x , Δ c y , Δ c z , für die die Schnelligkeit im Intervall [ c , c + Δ c ] liegt. Diese Bedingung wird von allen „Volumenelementen” in einer Kugelschale der Dicke Δ c erfüllt, die von zwei konzentrischen Kugeln der Radien c + Δ c und c („Apfelsinenschale”) gebildet wird. Ihr „Volumen” ist demnach

Δ V = 4 π 3 ( c + Δ c ) 3 - c 3 = 4 π 3 3 c 2 Δ c + 3 c Δ c 2 + Δ c 3 ,

das im Grenzfall Δ c d c in 4 π c 2 d c übergeht.

Unter Berücksichtung der Winkelunabhängigkeit vereinfacht sich demnach das Dreifachintegral zu einem Einfachintegral über den gesamten Wertebereich [ 0 , ] der Variablen c .

B d c x d c y d c z = 0 4 π c 2 d c .

Es sei erwähnt, dass eine solche Transformation auch bei der Berechnung der mittleren Relativgeschwindigkeit zweier Teilchen auftritt und dort in analytischer Weise durchgeführt wird.

Punkt 8

Mit dem vorangehenden Ergebnis lautet das Integral für die mittlere Schnelligkeit nun

c¯ = 0 c 4 π m 2 π k T 3 / 2 c 2 exp - m c 2 2 k T d c = 0 c F ( c ) d c .

Diese Gleichung definiert, wie rechts gezeigt, die gesuchte Verteilungsdichtefunktion für die Schnelligkeit, d. h. den Betrag der Geschwindigkeit der Teilchen mit der Masse m bei der Temperatur T.

F ( c ) = 4 π m 2 π k T 3 / 2 c 2 exp - m c 2 2 k T
Seite 5 von 5>