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Maxwell'sche Geschwindigkeitsverteilung

Maxwell'sche Geschwindigkeitsverteilung

Das mittlere Betragsquadrat der Schnelligkeit von Gasteilchen kann mittels der kinetischen Druckformel als Funktion der Teilchenmasse und Temperatur des Gases formuliert werden.

c2¯ = 3 R T M = 3 k T m

Die Deutung einer Reihe von Phänomenen, darunter

  • die Austrittsgeschwindigkeit eines Gases aus einer kleinen Öffnung (Effusion),
  • die Transporteigenschaften von Gasen,
  • die mittlere freie Weglänge und die Stoßfrequenz sowie
  • die Ausbildung kurzzeitiger Druckdifferenzen an porösen Trennwänden,

setzt allerdings den genauen Mittelwert einer Geschwindigkeitskomponente wie c x oder der Schnelligkeit c der Gasteilchen voraus. Die Wurzel aus dem quadratischen Mittel c2¯ reicht dafür nicht aus.

Hinweis
Bei der Mittelung der Quadrate gehen große Werte stärker ein als bei der arithmetischen Mittelung. Deswegen ist die Wurzel des quadratischen Mittels stets größer als das arithmetische Mittel c¯. Die Frage ist, um wie viel genau? Zum Beispiel resultiert 3.317 bzw. 3 für die fünf Zahlen 1, 2, 3, 4, 5.

Für die vielen Teilchen eines Gases ist die Frage nach dem Unterschied zwischen den verschiedenen Typen von Mittelwerten nicht so leicht zu beantworten. Zunächst sind hierfür die folgenden methodischen Grundlagen zu erörtern.

Verteilungsdichtefunktionen

Die Masse der Gasteilchen in einem System von N0 Teilchen ist immer gleich. Bei anderen Eigenschaften x wie der Schnelligkeit c der Teilchen oder ihres gegenseitigen Abstandes zu einem bestimmten Zeitpunkt ist dies nicht der Fall.

  • Betrachten wir ein Teilchen längere Zeit, so wird seine Schnelligkeit viele verschiedene Werte annehmen. Mittelung der Beobachtungen führt auf den Zeitmittelwert c¯ zeit .
  • Betrachten wir alle Teilchen zu einem Zeitpunkt, so werden wir viele verschiedene Schnelligkeiten feststellen. Mittelung der Beobachtungen führt auf den Scharmittelwert c¯ schar .
  • In beiden Fällen sprechen wir von einer Verteilung der Schnelligkeit c der Teilchen. Sie ist es, die den Zustand des Vielteilchensystems charakterisiert.

Mittelwerte einer Eigenschaft x von Gasteilchen wie x ¯ oder x 2 ¯ werden mit einer Verteilungsdichtefunktion F x berechnet. Sie gibt den Bruchteil d N N0 der Teilchen an, deren Wert x im Intervall x x + d x liegt.

Verteilungsdichtefunktion
Die Merkmale einer Verteilungsdichtefunktion veranschaulicht eine Verkehrskontrolle der Autogeschwindigkeit nach einer Kreuzung. Die Zählung von N0 Autos ergibt den jeweiligen Bruchteil Δ N / N0 der Autos, deren Schnelligkeit c im Intervall c c + Δ c liegt. Der Begriff „Verteilung” kennzeichnet diesen Bruchteil in Abhängigkeit von c. Mit abnehmendem Δ c , also genauerer Festlegung der jeweiligen Schnelligkeit, wird auch Δ N kleiner. Der Quotient Δ N / Δ c bleibt jedoch endlich. Durch Bildung des Grenzwertes Δ c d c entsteht dann die Verteilungsdichtefunktion F c . Ihre Definition und Eigenschaften lauten wie folgt.
F c : = 1 N0 d N d c mit 0 F c d c = 1 und c¯ n = 0 c n F c d c mit n = 1 , 2 , ...
Die Integration ist über den Wertebereich der Größe c durchzuführen. Er ist gleich 0 im Falle der Schnelligkeit c der Autos oder Gasteilchen.

Eine experimentelle Bestimmung der Teilchengeschwindigkeiten und ihrer Verteilungsdichtefunktion war im 19. Jahrhundert noch nicht möglich, setzte sie doch Apparaturen mit hohem Vakuum voraus. Heutzutage können wir allerdings ohne größeren Aufwand per Computersimulation das Wesen der Verteilung erfassen. Schon mit 30 Teilchen ist es möglich, ein recht gutes Bild von der Verteilung der Komponenten und des Betrages der Geschwindigkeiten zu gewinnen. Damit sind wichtige Merkmale der Verteilungsdichtefunktionen in qualitativer Weise unmittelbar erkennbar, wie die beiden folgenden Abbildungen zeigen.

Abb.1
Verteilung der Komponente c x
Abb.2
Verteilung des Betrages c

  • Die gezeigten Kurven sind die Umhüllenden für die Teilchenzahl im jeweiligen Geschwindigkeitsintervall.
  • Die mittlere Schnelligkeit c ist als Vielfaches einer beliebigen Referenzschnelligkeit c 0 spezifiziert.
  • Im roten Fall (heißes Gas) ist die kinetische Energie und damit die Temperatur viermal so groß wie im blauen Fall (kaltes Gas). Deswegen resultieren größere Teilchenzahlen bei höheren Schnelligkeitswerten, d. h. die Dichtefunktionen verbreitern sich und flachen ab (Fläche unter den Kurven ist gleich eins!).
  • Ein Gas befindet sich in einem ruhenden Behälter. Also ist die mittlere Komponente der Geschwindigkeit der Gasteilchen in jeder Raumrichtung gleich null. Folglich müssen die Wahrscheinlichkeiten für positive und negative Geschwindigkeitskomponenten, also für c x = + a bzw. c x = - a gleich sein. Deswegen muss f + a = f a gelten, d. h. die Verteilungsdichtefunktion f c x ist symmetrisch zu null.

Die Computersimulation stellt eine Abbildung des Stoßgeschehens im Rechner dar. Ihr Ergebnis sind die gespeicherten Bewegungsbahnen der 30 Teilchen, aus denen sowohl das Zeitmittel als auch Scharmittel für die Geschwindigkeitskomponenten und Schnelligkeit bestimmbar sind. Unbekannt bleibt dabei die analytische Form der in den beiden Abbildungen gezeichneten Verteilungsdichtefunktionen.

Diese analytischen Funktionen für die Vielzahl der Teilchen eines Gases „zu erdenken”, erscheint auf den ersten Blick als unmöglich. Nicht jedoch für einen der herausragendsten Naturwissenschaftlersaller Zeiten, James Clerk Maxwell, der 1860 im Alter von 29 Jahren die theoretische Herleitung dieser Funktionen den mehr als erstaunten Zeitgenossen vorlegte. Seine Ergebnisse sind nachfolgend zusammengefasst.

Maxwell'sche Verteilungsdichtefunktionen der Geschwindigkeit
Tab. 1
Maxwell'sche Verteilungsdichtefunktionen der Geschwindigkeit
Geschwindigkeitskomponente c x ( c y , c z ebenso)Betrag der Geschwindigkeit c (Schnelligkeit)
d N N0 = f c x d c x d N N0 = F c d c
f c x = m 2 π k T 1 2 exp m c x 2 2 k T F c = 4 π m 2 π k T 3 2 c 2 exp m c 2 2 k T
  • N0 = n NA = Teilchenzahl;
  • m = Teilchenmasse;
  • k = R NA = Boltzmann-Konstante

Mittelwerte der Schnelligkeit c

Mit der nun bekannten Verteilungsdichtefunktion F c für die Teilchenschnelligkeit c sind wir in der Lage, den Mittelwert von Potenzen der Schnelligkeit zu berechnen gemäß der Integration

< c n > = 0 c n F c d c mit n = 1 , 2 , . . . .

Die Rechnung verlangt keinen großen Aufwand, da für die gegebene untere und obere Grenze Standardintegrale existieren. Die Resultate sind nachfolgend gegeben, ebenso wie die Formel für die häufigste Schnelligkeit c h , die durch das Maximum von F c bestimmt ist.

Tab.2
Die drei wichtigsten Mittelwerte der Schnelligkeit
ArtMolekularMolar H2 bei 0 °C N2 bei 0 °C
Häufigste Schnelligkeit c h 2 k T m 2 R T M 1503 m/s 401 m/s
Mittlere Schnelligkeit c¯ 8 k T π m 8 R T π M 1692 m/s 453 m/s
Wurzel des mittleren Schnelligkeitsquadrats c2¯ 3 k T m 3 R T M 1838 m/s 483 m/s

In den Formeln lässt sich der gemeinsame Faktor k T m eliminieren. So entstehen die folgenden Verhältnisse der drei Geschwindigkeitstypen.

c h : c¯ : c2¯ = 2 : 8 π : 3 = 1 : 1,1284 : 1,2247
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