Kraft pro Teilchen

Die Teilchen besitzen die gleiche Masse $\mathit{m}$. Beim Wandstoß ändert sich ihre Geschwindigkeit von ${\upsilon }_{\text{x}}$ nach $-{\mathit{c}}_{\mathit{x}}$. Also erfährt ein Teilchen $i$ beim Stoß die folgende Kraft ${\mathit{F}}_{\mathit{x}}\left(i\right)$.

$${\mathit{F}}_{\mathit{x}}\left(i\right)=\frac{\mathit{m}}{\Delta \mathit{t}}\left({\mathit{c}}_{\mathit{x}}\right(\Delta \mathit{t})-{\mathit{c}}_{\mathit{x}}(0\left)\right)=\frac{-2\mathit{m}{\mathit{c}}_{\mathit{x}}}{\Delta \mathit{t}}=-{\mathit{F}}_{\mathit{x,W}}\left(i\right)\begin{array}{rl}{\mathit{c}}_{\mathit{x}}\left(0\right)\text{:}& \text{Geschwindigkeit, vorher}\\ {\mathit{c}}_{\mathit{x}}\left(\Delta \mathit{t}\right)\text{:}& \text{Geschwindigkeit, nachher}\\ {\mathit{F}}_{\mathit{x,W}}\left(i\right)\text{:}& \text{auf die Wand wirkende Kraft}\end{array}$$

Wie das Pendelbeispiel zeigt, verbindet sich mit der auf das Teilchen wirkenden Kraft ${\mathit{F}}_{\mathit{x}}\left(i\right)$ die entgegengesetzt gerichtete, gleich starke Kraft ${\mathit{F}}_{\mathit{x,W}}\left(i\right)$ auf die Wand.

Gesamtkraft auf die Wand

In der Zeit $\Delta \mathit{t}$ stoßen nur jene Teilchen auf die Wand, deren $x$-Abstand von der Wand ${\mathit{c}}_{\mathit{x}}\Delta \mathit{t}$ beträgt.

Abb.3

Hätten alle Teilchen den gleichen ${\mathit{c}}_{\mathit{x}}$ -Wert, so wäre der Abstand in allen Fällen $\Delta x$. Die Zahl der pro Zeitintervall $\Delta \mathit{t}$ auf die Fläche $A$ stoßenden Teilchen wäre dann gleich ½-mal Teilchendichte $\frac{\mathit{N}}{\mathit{V}}$ mal Volumen $A\Delta x=A{\mathit{c}}_{\mathit{x}}\Delta \mathit{t}$. Der Faktor ½ berücksichtigt, dass sich von allen Teilchen 50 % in Richtung der Wand und 50 % weg von ihr bewegen.

Unter der Voraussetzung gleicher Geschwindigkeit ${\mathit{c}}_{\mathit{x}}$ aller Teilchen folgt somit für die Gesamtkraft auf die Wand die Gleichung

$${\mathit{F}}_{\mathit{x,W}}=\frac{2\mathit{m}{\mathit{c}}_{\mathit{x}}}{\Delta \mathit{t}}\cdot \frac{1}{2}\frac{\mathit{N}}{\mathit{V}}A{\mathit{c}}_{\mathit{x}}\Delta \mathit{t}=\frac{\mathit{m}{{\mathit{c}}_{\mathit{x}}}^2\mathit{N}A}{\mathit{V}}.$$

Mittleres Geschwindigkeitsquadrat

Die hergeleitete Kraftgleichung bezieht sich auf gleiche Geschwindigkeitskomponenten ${\mathit{c}}_{\mathit{x}}$ aller Teilchen. Tatsächlich existieren jedoch unterschiedliche Geschwindigkeiten, d. h. es besteht eine Verteilung der Geschwindigkeiten. Dem entsprechen wir nun damit, dass anstelle von ${{\mathit{c}}_{\mathit{x}}}^2$ der Mittelwert $\overline{{{\mathit{c}}_{\mathit{x}}}^2}$ verwendet wird. Weiterhin berücksichtigen wir, dass im dreidimensionalen Raum die Mittelwerte in jeder Richtung gleich groß sein müssen. Folglich gilt für das mittlere Betragsquadrat der Geschwindigkeit

$$\overline{{\mathit{c}}^2}=\overline{{{\mathit{c}}_{\mathit{x}}}^2}+\overline{{{\mathit{c}}_{\mathit{x}}}^2}+\overline{{{\mathit{c}}_{\mathit{x}}}^2}=3\overline{{{\mathit{c}}_{\mathit{x}}}^2}\Rightarrow \overline{{{\mathit{c}}_{\mathit{x}}}^2}=\frac{\overline{{\mathit{c}}^2}}{3}.$$