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Kinetische Druckformel

Kinetische Druckformel

Es soll der Druck berechnet werden, der von den auf eine Wand treffenden Gasteilchen ausgeübt wird. Grundlegend ist hierfür die Definition des Druckes. Wirkt eine Kraft FA senkrecht auf eine ebene Fläche A , so besteht ein Druck p vom Betrag p = FA A . Betrachten wir dazu den Kraftbegriff etwas näher.

Kraft
Die Kraftkomponente Fx ist definiert als zeitliche Änderung des Impulses (Masse mal Geschwindigkeit).
Fx = d px d t = d m cx d t Δ ( m cx ) Δt
Entsprechendes gilt für die Kraftkomponenten Fy und Fz.

Das folgende Pendel-Beispiel verdeutlicht die wirkenden Kräfte, wenn Teilchen auf eine Wand treffen, deren Normalenvektor in x -Richtung liegt.

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Abb.1
Pendel-Beispiel

  • Die gezeigten Kugeln stellen wir uns als einen mikroskopischen Ausschnitt zweier Volumina vor, die mit gleichen Gasteilchen der Masse m gefüllt und durch eine Wand getrennt sind. In der Animation rechts symbolisiert je eine Kugel die Gasteilchen des linken bzw. rechten Volumens. Die vier mittleren Kugeln stellen die Wand dar.
  • Zu einer Zeit t stößt ein Gasteilchen L (Kugel ganz links) mit der Geschwindigkeit cx auf die Wand (vier Kugeln). Rechtsseitig ruht bei t gerade ein Gasteilchen R (Kugel ganz rechts) auf der Wand.
  • Beim Stoß erfährt L eine nach links gerichtete Kraft, sein Impuls nimmt momentan von m cx auf Null ab. Gleichzeitig erfährt die Wand eine nach rechts gerichtete Kraft, die sich auf das rechts ruhende Teilchen R überträgt. Sein Impuls nimmt momentan den Wert m cx an. Der Erhaltungssatz des Impulses ist erfüllt. Der Vorgang wiederholt sich kurze Zeit später in umgekehrter Richtung.
  • Die Impulsübertragung nach rechts bzw. links setzt sich gleichmäßg mit der Zeit fort. Die Wand bleibt in Ruhe. Das Kugelpendel kann also als Einteilchen-Modell für das Druckgleichgewicht zwischen dem linken und rechten Gas angesehen werden.

Wir besitzen nun das Rüstzeug, um den Gasdruck von N Teilchen mit den Gesetzen der Mechanik zu berechnen. Dafür legen wir folgendes Modell eines Gases zugrunde.

Elementares kinetisches Modell eines Gases
  • Die Gasteilchen sind winzige Kugeln mit der Masse m. Ihr Durchmesser d ist vernachlässigbar klein gegenüber dem mittleren Teilchenabstand im gegebenen Volumen V.
  • Die Teilchen sind in ungeordneter Bewegung und stoßen untereinander zusammen und werden an den Gefäßwänden reflektiert. Die Stöße sind elastisch.
  • Die Teilchen bewegen sich - abgesehen von den Stößen - unabhängig voneinander. Dies bedeutet, dass keine Anziehungskräfte zwischen ihnen bestehen.

Wir wenden uns nun den Stößen der Gasteilchen auf eine Wand der Fläche A zu, deren Normalenvektor in x -Richtung liegt. In diesem Fall ändert sich bei einem Stoß nur die x -Komponente der Teilchengeschwindigkeit. Die Komponenten υy und υz bleiben konstant und können bei der weiteren Betrachtung außer Acht gelassen werden.

Abb.2

Zwei Fragen sind zu beantworten:

  1. Welche Kraft übt ein Teilchen auf die Fläche A aus?
  2. Welche Gesamtkraft wirkt auf die Fläche A , d. h. wieviele Teilchen stoßen im Zeitintervall Δt auf die Wand?

Kraft pro Teilchen

Die Teilchen besitzen die gleiche Masse m. Beim Wandstoß ändert sich ihre Geschwindigkeit von υx nach cx . Also erfährt ein Teilchen i beim Stoß die folgende Kraft Fx ( i ) .

Fx ( i ) = m Δt ( cx ( Δt ) cx ( 0 ) ) = 2 m cx Δt = Fx,W ( i ) cx ( 0 ) : Geschwindigkeit, vorher cx ( Δt ) : Geschwindigkeit, nachher Fx,W ( i ) : auf die Wand wirkende Kraft

Wie das Pendelbeispiel zeigt, verbindet sich mit der auf das Teilchen wirkenden Kraft Fx ( i ) die entgegengesetzt gerichtete, gleich starke Kraft Fx,W ( i ) auf die Wand.

Gesamtkraft auf die Wand

In der Zeit Δt stoßen nur jene Teilchen auf die Wand, deren x -Abstand von der Wand cx Δt beträgt.

Abb.3

Hätten alle Teilchen den gleichen cx -Wert, so wäre der Abstand in allen Fällen Δ x . Die Zahl der pro Zeitintervall Δt auf die Fläche A stoßenden Teilchen wäre dann gleich ½-mal Teilchendichte N V mal Volumen A Δ x = A cx Δt . Der Faktor ½ berücksichtigt, dass sich von allen Teilchen 50 % in Richtung der Wand und 50 % weg von ihr bewegen.

Unter der Voraussetzung gleicher Geschwindigkeit cx aller Teilchen folgt somit für die Gesamtkraft auf die Wand die Gleichung

Fx,W = 2 m cx Δt 1 2 N V A cx Δt = m cx 2 N A V .

Mittleres Geschwindigkeitsquadrat

Die hergeleitete Kraftgleichung bezieht sich auf gleiche Geschwindigkeitskomponenten cx aller Teilchen. Tatsächlich existieren jedoch unterschiedliche Geschwindigkeiten, d. h. es besteht eine Verteilung der Geschwindigkeiten. Dem entsprechen wir nun damit, dass anstelle von cx 2 der Mittelwert cx 2 ¯ verwendet wird. Weiterhin berücksichtigen wir, dass im dreidimensionalen Raum die Mittelwerte in jeder Richtung gleich groß sein müssen. Folglich gilt für das mittlere Betragsquadrat der Geschwindigkeit

c 2 ¯ = cx 2 ¯ + cx 2 ¯ + cx 2 ¯ = 3 cx 2 ¯ cx 2 ¯ = c 2 ¯ 3 .

Fazit

Insgesamt erhalten wir für den Druck p = Fx,W A , den die Teilchen eines Gases auf eine Wand ausüben, das folgende Resultat.

Kinetische Druckformel
p = 1 3 N V m c 2 ¯ V : Volumen des Gases N : Zahl der Teilchen ( N = n NA ) NA : Avogadro-Zahl ( 6,022 10 23 mol-1 ) m : Masse eines Teilchens c : Betrag der Teilchengeschwindigkeit, d.h. die Teilchenschnelligkeit

Mit der kinetischen Druckformel konnte in der Mitte des 19. Jh. erstmals die Geschwindigkeit der Gasteilchen berechnet werden. Für Stickstoff bei 25°C ergab sich etwa 500 ms-1 , ein Wert, den die Zeitgenossen nicht ohne Widerspruch hinnahmen. Respektive Zweifel an der Gültigkeit der kinetischen Druckformel konnte Clausius 1858 mit Hinweisen auf die geringe freie Weglänge der Teilchen beseitigen.

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