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Zwischenmolekulare Wechselwirkungen

Umformulierung des Lennard-Jones-Potenzials

Das Lennard-Jones-Potenzial besitzt die charakteristischen Stellen Φ r0 = 0 und Φ rmin = ε . Gesucht sind die Formulierungen Φ r ε r0 und Φ r ε rmin , in denen die Parameter A und B durch ε und den Abstand r0 des Nulldurchgangs bzw. ε und den Ort rmin des Potenzialminimums erzetzt sind.

Φ r A B = A r 6 + B r 12
Hinweise
Insgesamt werden zur Umformulierung des Lennard-Jones-Potenzials in Abhängigkeit drei Unbekannten rmin, r0 und ε auch drei linear unabhängige Gleichungen benötigt. Zwei Gleichung sind bereits bekannt:
Φ r0 = 0
Φ rmin = ε
Die dritte Gleichung ergibt sich aus dem bekannten Minimum des Lennard-Jones-Potenzials an der Stelle rmin:
d Φ r d r r = rmin = 0
Folgende Schritte führen zu den gesuchten Formulierungen:
  1. Lösen Sie Φ r0 in Gleichung nach r0 auf.
  2. Bestimmen Sie über Gleichung rmin als Funktion von r0.
  3. Bestimmen Sie unter Verwendung von Gleichung die Parameter A und B als Funktion von ε und r0 bzw. ε und rmin.

Als erster Schritt wird Φ r0 nach r0 aufgelöst.

Φ r0 = 0 A r0 6 + B r0 12 = 0 B r0 12 = A r0 6 B r0 6 = A B A = r0 6 r0 = B A 1 6 mit A > 0 , B > 0 , r0 > 0

Im zweiten Schritt wird unter Ausnutzung der Minimumsbedingung rmin extrahiert:

d Φ r d r r = rmin = 0 6 A rmin 7 12 B rmin 13 = 0 6 A rmin 7 = 12 B rmin 13 rmin = 2 B A 1 6 mit rmin > 0

Mittels Gleichung und Gleichung ist nun der Zusammenhang zwischen rmin und r0 aufzeigbar:

rmin = 2 1 6 r0 1,1225 r0

Im dritten Schritt wird vorerst ε durch A und B dargestellt:

Φ rmin = ε = A rmin 6 + B rmin 12 = A A 2 B + B A 2 4 B 2 = A 2 2 B + A 2 4 B ε = A 2 4 B

Multiplizieren der Gleichung mit der Gleichung führt zum Lennard-Jones-Parameter A als Funktion von rmin und ε . Aus dem erneuten Einsetzen von A in Gleichung folgt B als Funktion von rmin und ε . Mit dem Zusammenhang von rmin und r0 aus Gleichung sind A und B als Funktion von r0 und ε darstellbar.

A = 2 ε rmin 6 = 4 ε r0 6 und B = ε rmin 12 = 4 ε r0 12

Mit dem Ergebnis aus Gleichung lässt sich das Lennard-Jones-Potenzial aus Gleichung in den zwei Formulierungen Φ r A B = Φ r ε r0 = Φ r ε rmin angeben:

Φ r ε r0 = 4 ε r0 r 12 r0 r 6 oder Φ r ε rmin = ε rmin r 12 2 rmin r 6
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