Zwischenmolekulare Wechselwirkungen
Umformulierung des Lennard-Jones-Potenzials
Das Lennard-Jones-Potenzial besitzt die charakteristischen Stellen und . Gesucht sind die Formulierungen und , in denen die Parameter und durch und den Abstand des Nulldurchgangs bzw. und den Ort des Potenzialminimums erzetzt sind.
- Hinweise
- Insgesamt werden zur Umformulierung des Lennard-Jones-Potenzials in Abhängigkeit drei Unbekannten , und auch drei linear unabhängige Gleichungen benötigt. Zwei Gleichung sind bereits bekannt:
- Die dritte Gleichung ergibt sich aus dem bekannten Minimum des Lennard-Jones-Potenzials an der Stelle :
- Folgende Schritte führen zu den gesuchten Formulierungen:
- Lösen Sie in Gleichung nach auf.
- Bestimmen Sie über Gleichung als Funktion von .
- Bestimmen Sie unter Verwendung von Gleichung die Parameter und als Funktion von und bzw. und .
Als erster Schritt wird nach aufgelöst.
Im zweiten Schritt wird unter Ausnutzung der Minimumsbedingung extrahiert:
Mittels Gleichung und Gleichung ist nun der Zusammenhang zwischen und aufzeigbar:
Im dritten Schritt wird vorerst durch und dargestellt:
Multiplizieren der Gleichung mit der Gleichung führt zum Lennard-Jones-Parameter als Funktion von und . Aus dem erneuten Einsetzen von in Gleichung folgt als Funktion von und . Mit dem Zusammenhang von und aus Gleichung sind und als Funktion von und darstellbar.
Mit dem Ergebnis aus Gleichung lässt sich das Lennard-Jones-Potenzial aus Gleichung in den zwei Formulierungen angeben: