Umformulierung des Lennard-Jones-Potenzials

Das Lennard-Jones-Potenzial besitzt die charakteristischen Stellen $\Phi \left({\mathit{r}}_0\right)=0$ und $\Phi \left({\mathit{r}}_{\text{min}}\right)=-\epsilon$. Gesucht sind die Formulierungen $\Phi \left(\mathit{r},\epsilon ,{\mathit{r}}_0\right)$ und $\Phi \left(\mathit{r},\epsilon ,{\mathit{r}}_{\text{min}}\right)$, in denen die Parameter $A$ und $B$ durch $\epsilon$ und den Abstand ${\mathit{r}}_0$ des Nulldurchgangs bzw. $\epsilon$ und den Ort ${\mathit{r}}_{\text{min}}$ des Potenzialminimums erzetzt sind.

$$\Phi \left(\mathit{r},A,B\right)=-\frac{A}{{\mathit{r}}^6}+\frac{B}{{\mathit{r}}^{12}}$$

Hinweise

Insgesamt werden zur Umformulierung des Lennard-Jones-Potenzials in Abhängigkeit drei Unbekannten ${\mathit{r}}_{\text{min}}$, ${\mathit{r}}_0$ und $\epsilon$ auch drei linear unabhängige Gleichungen benötigt. Zwei Gleichung sind bereits bekannt:

$$\Phi \left({\mathit{r}}_0\right)=0$$

$$\Phi \left({\mathit{r}}_{\text{min}}\right)=-\epsilon$$

Die dritte Gleichung ergibt sich aus dem bekannten Minimum des Lennard-Jones-Potenzials an der Stelle ${\mathit{r}}_{\text{min}}$:

$${\left(\frac{\text{d}\Phi \left(\mathit{r}\right)}{\text{d}\mathit{r}}\right)}_{\mathit{r}={\mathit{r}}_{\text{min}}}=0$$

Folgende Schritte führen zu den gesuchten Formulierungen:

1. Lösen Sie $\Phi \left({\mathit{r}}_0\right)$ in Gleichung nach ${\mathit{r}}_0$ auf.
2. Bestimmen Sie über Gleichung ${\mathit{r}}_{\text{min}}$ als Funktion von ${\mathit{r}}_0$.
3. Bestimmen Sie unter Verwendung von Gleichung die Parameter $A$ und $B$ als Funktion von $\epsilon$ und ${\mathit{r}}_0$ bzw. $\epsilon$ und ${\mathit{r}}_{\text{min}}$.

Als erster Schritt wird $\Phi \left({\mathit{r}}_0\right)$ nach ${\mathit{r}}_0$ aufgelöst.

$$\begin{array}{rcl}\Phi \left({\mathit{r}}_0\right)& =& 0\\ -\frac{A}{{{\mathit{r}}_0}^6}+\frac{B}{{{\mathit{r}}_0}^{12}}& =& 0\\ \frac{B}{{{\mathit{r}}_0}^{12}}& =& \frac{A}{{{\mathit{r}}_0}^6}\\ \frac{B}{{{\mathit{r}}_0}^6}& =& A\\ \frac{B}{A}& =& {{\mathit{r}}_0}^6\\ {\mathit{r}}_0& =& {\left(\frac{B}{A}\right)}^{\frac{1}{6}}\text{mit}A>0\text{,}B>0\text{,}{\mathit{r}}_0>0\end{array}$$

Im zweiten Schritt wird unter Ausnutzung der Minimumsbedingung ${\mathit{r}}_{\text{min}}$ extrahiert:

$$\begin{array}{rcl}{\left(\frac{\text{d}\Phi \left(\mathit{r}\right)}{\text{d}\mathit{r}}\right)}_{\mathit{r}={\mathit{r}}_{\text{min}}}& =& 0\\ \frac{6A}{{{\mathit{r}}_{\text{min}}}^7}-\frac{12B}{{{\mathit{r}}_{\text{min}}}^{13}}& =& 0\\ \frac{6A}{{{\mathit{r}}_{\text{min}}}^7}& =& \frac{12B}{{{\mathit{r}}_{\text{min}}}^{13}}\\ {\mathit{r}}_{\text{min}}& =& {\left(\frac{2B}{A}\right)}^{\frac{1}{6}}\text{mit}{\mathit{r}}_{\text{min}}>0\end{array}$$

Mittels Gleichung und Gleichung ist nun der Zusammenhang zwischen ${\mathit{r}}_{\text{min}}$ und ${\mathit{r}}_0$ aufzeigbar:

$${\mathit{r}}_{\text{min}}=2^{\frac{1}{6}}{\mathit{r}}_0\approx \mathrm{1,1225}{\mathit{r}}_0$$

Im dritten Schritt wird vorerst $\epsilon$ durch $A$ und $B$ dargestellt:

$$\Phi \left({\mathit{r}}_{\text{min}}\right)=-\epsilon =-\frac{A}{{{\mathit{r}}_{\text{min}}}^6}+\frac{B}{{{\mathit{r}}_{\text{min}}}^{12}}=-\frac{A\cdot A}{2B}+\frac{B\cdot A^2}{4B^2}=-\frac{A^2}{2B}+\frac{A^2}{4B}\Rightarrow \epsilon =\frac{A^2}{4B}$$

Multiplizieren der Gleichung mit der Gleichung führt zum Lennard-Jones-Parameter $A$ als Funktion von ${\mathit{r}}_{\text{min}}$ und $\epsilon$. Aus dem erneuten Einsetzen von $A$ in Gleichung folgt $B$ als Funktion von ${\mathit{r}}_{\text{min}}$ und $\epsilon$. Mit dem Zusammenhang von ${\mathit{r}}_{\text{min}}$ und ${\mathit{r}}_0$ aus Gleichung sind $A$ und $B$ als Funktion von ${\mathit{r}}_0$ und $\epsilon$ darstellbar.

$$A=2\epsilon {{\mathit{r}}_{\text{min}}}^6=4\epsilon {{\mathit{r}}_0}^6\text{und}B=\epsilon {{\mathit{r}}_{\text{min}}}^{12}=4\epsilon {{\mathit{r}}_0}^{12}$$

Mit dem Ergebnis aus Gleichung lässt sich das Lennard-Jones-Potenzial aus Gleichung in den zwei Formulierungen $\Phi \left(\mathit{r},A,B\right)=\Phi \left(\mathit{r},\epsilon ,{\mathit{r}}_0\right)=\Phi \left(\mathit{r},\epsilon ,{\mathit{r}}_{\text{min}}\right)$ angeben:

$$\Phi \left(\mathit{r},\epsilon ,{\mathit{r}}_0\right)=4\epsilon \left({\left(\frac{{\mathit{r}}_0}{\mathit{r}}\right)}^{12}-{\left(\frac{{\mathit{r}}_0}{\mathit{r}}\right)}^6\right)\text{oder}\Phi \left(\mathit{r},\epsilon ,{\mathit{r}}_{\text{min}}\right)=\epsilon \left({\left(\frac{{\mathit{r}}_{\text{min}}}{\mathit{r}}\right)}^{12}-2{\left(\frac{{\mathit{r}}_{\text{min}}}{\mathit{r}}\right)}^6\right)$$