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Ideale Gase

Das ideale Gasgesetz

Unter Verwendung der absoluten Temperatur T = θ + 1 / α 0 nehmen die Gesetze von Boyle und Gay-Lussac folgende Form an.

(Boyle) p V = const. für T = const. (Gay-Lussac) V = V 0 α 0 T für p = const.

Hierbei ist V0 das Volumen einer beliebigen Stoffmenge n des Gases bei T = T 0 = 1 / α 0 , d.h. bei θ = 0   °C . α 0 ist der universelle thermische Ausdehnungskoeffizient eines Gases. Bei unendlich kleinem Druck ist er für alle Gase gleich.

Die beiden obigen Gleichungen lassen sich zu einer Gleichung zusammenfügen. Zur Herleitung betrachten wir die folgenden drei Zustände:

  1. Gas bei p° und T0 V0 stellt sich ein.
  2. p-Änderung p 0 p 2 bei T = const. = T0 p 2 V1 = p ° V0
  3. T-Änderung bei p = const. = p 1 = p 2 V2 / V1 = T 2 / T0

Einsetzen der Gleichung aus 1. in die Formel aus 2. ergibt:

p 2 V2 T0 T 2 = p ° V0 , oder p 1 = p 2 p 2 V2 T 2 = p ° V0 T0
  • Links stehen die Zustandsgrößen für einen beliebigen Zustand 2.
  • Rechts stehen die festgelegten Werte p ° , T0 und das sich einstellende Volumen V0 .
  • Also muss für jeden durch die drei Variablen p , T und V bestimmten Zustand p V / T = p ° V 0 / T 0 gelten.

Die Gaskonstante R

In dem Ausdruck p ° V 0 / T 0 ist bisher die in V 0 versteckte Stoffmenge n und der Druck p ° nicht festgelegt. Es liegt nahe, die Stoffmenge 1   mol und den heutigen Standarddruck p ° = 1   bar als Referenzwerte zu wählen. Dies führt auf die universelle Gaskonstante R:

p ° V0 T 0 = n p ° Vm,0 T 0 = n R mit R : = p ° Vm,0 T 0 = 8,31441   J K-1 mol-1

Der gegebene Zahlenwert für die Gaskonstante R gilt für den Standarddruck 1 bar und genaue Werte für T 0 und V 0 .

Bestimmung der allgemeinen Gaskonstante

Der Definition der Kelvin-Skala gemäß herrscht am Erstarrungspunkt des Wassers bei 1.013,25hPa die Temperatur T fus,  H 2 O = 273,15K . Um die Gaskonstante möglichst genau zu ermitteln, geht man wie folgt vor:

  • Man benötigt ein Gasthermometer und bestimmt dessen genaues Volumen V G . Die Funktionsweise eines Gasthermometers ist in der Lerneinheit Genaue Temperaturbestimmung beschrieben.
  • Dann wird das Gasthermometer mit abnehmenden Stoffmengen n G gefüllt und der jeweilige Druck p G bei 273,15 K genau gemessen.
  • Mit der Serie von Druckwerten wird für die Gaskonstante der Grenzwert für n G 0 gemäß Gleichung gebildet.
R : = p V m T ideal = lim n G 0 p G V G n G T fus,  H 2 O = 8,314472 J K-1 mol-1
Legende
V m -molares Volumen

Ideales Gasgesetz

Mit der Gaskonstanten R nimmt die Kombination der Gesetze von Boyle-Mariotte und Gay-Lussac die folgende einfache Form an.

Stoffmenge 1 mol p Vm = R T Stoffmenge n p V = n R T

Die beiden Gleichungen (4) sind das ideale Gasgesetz. Für reale Gase gilt es im Bereich der Gültigkeit der Gesetze von Boyle-Mariotte und Gay-Lussac, also bei niedrigen Drücken und hohen Temperaturen. Für Wasserdampf am Kochpunkt bei 1   bar beträgt die Differenz zwischen dem gemessenen und berechneten Volumen etwa ein Prozent. Die folgende Abbildung vermittelt in graphischer Weise den geringen Unterschied zwischen Theorie und Experiment bei Drücken bis 10   bar .

Abb.1
Vergleich realer und idealer p, V, T-Daten.

Die Kreise sind reale Werte für H2O, die Linie berechnete Werte. Zur besseren Verdeutlichung wird der dekadische Logarithmus des Druckverhältnisses auf der Ordinatenachse verwendet. p° = bar.

Fazit

Die thermodynamische Definition des idealen Gases lautet: Ein Gas der Stoffmenge n , dessen Zustandsvariablen p , V , T für alle Werte ihres Definitionsbereichs die Gleichung

p V = n R T

erfüllen, wird als ideales Gas bezeichnet!

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