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Grundlagen der modernen kernmagnetischen Resonanz

$T_{2}$ -Relaxation

Der Abfall eines FID-Signals ist bestimmt durch die $T_{2}$ -Relaxation und die Restinhomogenität des statischen Magnetfeldes $B_{0}$ , die sich durch "Shimmen" des Magneten nicht beheben lässt. Je nach Natur der Probe und Restinhomogenität überwiegt der eine oder andere Beitrag. Wir betrachten hier nur den ersten Effekt, der zweite wird unter $B_{0}$ -Inhomogenität erläutert.

Die folgende Animation beginnt mit einem $M$ -Vektor der makroskopischen Magnetisierung entlang der $- y$ -Achse, erzeugt durch das Standard- ${90 °}_{x}$ -Impulsexperiment.

Abb.1: $T_{2}$ -Relaxation

Mit zunehmender Zeit fächert der anfängliche $M$ -Vektor wegen der $B_{0}$ -Inhomogenität mehr und mehr in zwölf $M_{iso}$ -Vektoren auf. Jedes dieser zwölf sogenannten Spinisochromate entspricht der Teilmenge der Kernspins, die sich in einem ideal homogenen Magnetfeld bei geringfügig verschiedenen $B_{0}$ -Werten befindet. Je nach Zeit liegen die $M_{iso}$ -Vektoren mehr oder weniger dicht nebeneinander. Bei $t = 0$ liegen sie alle zusammen. Zu keinem Zeitpunkt ist also ihre Summe gezeigt (Abb. 1) .

Wie die Animation zeigt, nimmt die Länge aller $M_{iso}$ -Vektoren gleichmäßig ab. Diese Erscheinung wird als $T_{2}$ -Relaxation bezeichnet. Die $T_{1}$ -Relaxation ist nicht berücksichtigt.

Zeitgesetz der $T_{2}$ -Relaxation

Ebenso wie bei der $T_{1}$ -Relaxation war es Felix Bloch, der das Grundgesetz der $T_{2}$ -Relaxation formulierte. Es lautet für die $x$ - und $y$ -Komponente des $M$ -Vektors:

\frac{d M_{x}}{d t} = - \frac{M_{x}}{T_{2}} und \frac{d M_{y}}{d t} = - \frac{M_{y}}{T_{2}}

Der zeitunabhängige Parameter $T_{2}$ heißt Spin-Spin-Relaxationszeit (auch transversale Relaxationszeit). Die Differenzialgleichungen entsprechen dem einfachen Zerfallsgesetz und ergeben integriert

M_{x} (t) = M_{x} (0) \cdot e^{- \frac{t}{T_{2}}} und M_{y} (t) = M_{y} (0) \cdot e^{- \frac{t}{T_{2}}}

Die Gleichungen beschreiben die $M_{x}$ - bzw. $M_{y}$ -Änderung in Zeitintervallen $[0, t]$ , in denen kein hochfrequentes Magnetfeld eingestrahlt wird. Wir wollen nun den Einfluss der $T_{2}$ -Relaxation bei der Rotation des $M$ -Vektor mathematisch formulieren. Dafür ist es zunächst zweckmäßig, die sogenannte komplexe Quermagnetisierung $M_{+} (t)$ zu definieren:

M_{+} (t) = M_{x} (t) + i \cdot M_{y} (t) = (M_{x} (0) + i \cdot M_{y} (0)) e^{- \frac{t}{T_{2}}} = M_{+} (0) \cdot e^{- \frac{t}{T_{2}}}

Bei Abwesenheit von Relaxation und $B_{0}$ -Inhomogenität rotiert der Vektor im Antiuhrzeigersinn mit konstanter Länge und der Kreisfrequenz $Ω_{0}$ ausgehend von seiner Startposition ${(0, - M_{0}, 0)}^{T}$ . Also gilt (beachte $- i^{2} = 1$ ):

M_{+} (t) = M_{0} \cdot (sin (Ω_{0} t) - i cos (Ω_{0} t)) = - i M_{0} \cdot (cos (Ω_{0} t) + i sin (Ω_{0} t)) = - i M_{0} \cdot e^{i Ω_{0} t}

Unter Einwirkung der $T_{2}$ -Relaxation fällt der Vorfaktor $M_{0}$ exponentiell ab, also ersetzen wir ihn gemäß der obigen Relaxationsgleichung für $M_{+} (t)$ unter Berücksichtigung von $M_{+} (0) = M_{0}$ :

M_{+} (t) = - i M_{0} \cdot e^{i Ω_{0} t} \cdot e^{- \frac{t}{T_{2}}}

Das FID-Signal $FID (t)$ ist proportional $M_{+} (t)$ . Die Proportionalitätskonstante setzen wir gleich seiner Höhe $A$ bei $t = 0$ :

FID (t) = A \cdot e^{i Ω_{0} t} \cdot e^{- \frac{t}{T_{2}}}

Der Faktor $A$ ist ein Maß für die Zahl der Kerne im Probenvolumen, also proportional zur Konzentration. Der Höhe $A$ entspricht im Spektrum die Fläche unter der Absorptionskurve, nicht deren Höhe im Maximum!

FID-Signal der NMR-Praxis

Der Abfall des FID-Signals wird gewöhnlich sowohl durch $T_{2}$ -Relaxation als auch $B_{0}$ -Inhomogenität beeinflusst. Letztere kann unter Annahme einer Lorentz-förmigen Verbreiterung durch den exponentiellen Dämpfungsfaktor $exp (- \frac{t}{T_{2, inh}})$ berücksichtigt werden: