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Grundlagen der modernen kernmagnetischen Resonanz

Positive und negative Kreisfrequenzen

Die Frequenz ν = 10 Hz gibt an, dass sich ein periodisches Ereignis zehnmal pro Sekunde wiederholt, z.B. für die Winkelfunktionen cos 2 π ν t und sin 2 π ν t der maximale positive Wert (Schwingungsamplitude oder Scheitelwert). Frequenzwerte können deswegen nur positiv sein, die Angabe ν = 10 Hz ist streng gesehen sinnlos. Mit der Definition der Kreisfrequenz ω = 2 π ν schreibt sich das Kosinus- bzw. Sinusargument kürzer, also cos ω t und sin ω t . Die Kreisfrequenz ω gibt an, wie oft das Winkelfunktionsargument den Wert 2 π pro Sekunde annimmt und ist ebenso wie ν streng genommen immer positiv.

Mit der Kreisfrequenz verbindet sich auch eine physikalische Bedeutung. Die Kreisfrequenz ω gibt an, wie viele volle Drehungen 2 π ein auf einem Kreis umlaufender Punkt pro Sekunde durchführt. Einer Kreisbewegung ist wiederum eine Winkelgeschwindigkeit zugeordnet, die wie jede Geschwindigkeit der Physik ein Vektor ist. Er steht senkrecht auf der x - y -Kreisebene und seine Länge entspricht dem Betrag der Kreisfrequenz. Er weist in die positive z -Achse, wenn der Punkt gegen den Uhrzeigersinn rotiert und nach unten für eine Drehung im Uhrzeigersinn. Beide Fälle sind nachfolgend gezeigt.

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Abb.1
Rotationen in einer Ebene mit unterschiedlichem Drehsinn

Darstellung A
mathematisch positiver Umlaufsinn; gegen den Uhrzeigersinn; counterclockwise (ccw)
Darstellung B
mathematisch negativer Umlaufsinn; im Uhrzeigersinn; clockwise (cw)

Wir versetzen uns nun in die Lage eines fernen Beobachters in der Ebene des Kreises.

  • Blickt er in die y -Richtung, so sieht er die Projektion des Punktes auf die x -Achse. Für die gezeigte Startposition beobachtet er in beiden Fällen die Schwingung cos ω t . Der Beobachter kann also nicht feststellen, welchen Drehsinn der Punkt besitzt.
  • Der Blick in die x -Richtung macht ihn nicht schlauer. Zwar ergibt nun die Projektion des Punktes auf die y -Achse vom gezeigten Startpunkt die unterschiedlichen Beobachtungen sin ω t bei der Rotation gegen den Uhrzeigersinn und sin ω t bei der Rotation im Uhrzeigersinn. Allerdings ist die reale Startposition nicht feststellbar, da die Punktlagen 0 ° und 180 ° zu Beginn die gleiche Projektion ergeben. Zeigt also die Beobachtung sin ω t , so bestehen die Möglichkeiten Punktlage 0 ° mit Rotation gegen den Uhrzeigersinn oder Punktlage 180 ° mit Rotation im Uhrzeigersinn. Entsprechendes gilt für sin ω t . Wiederum bleibt dem Beobachter der tatsächliche Drehsinn unbekannt.

Es erweist sich, dass mit einer Beobachtung lediglich die Kreisfrequenz zugänglich ist. Dieser Befund ist keine Überraschung. Kreisfrequenz und Drehsinn sind zwei unabhängige Messgrößen, die mit einer Messung nicht beide bestimmbar sind. Teamwork zweier Beobachter ist erforderlich, die zeitgleich jeweils in x - bzw. y -Richtung schauen und ihre Ergebnisse kombinieren. zeigt dass Resultat.

Tab.1
Beobachtung und Drehsinn
Beobachter 1Beobachter 2
gegen den Uhrzeigersinn cos ω t sin ω t
im Uhrzeigersinn cos ω t sin ω t

Die getrennte Behandlung der beiden zusammenhängenden Beobachtungen ist unbequem. Eine Kombination zu einem Ausdruck erlaubt die imaginäre Einheit i. Wir schreiben das Ergebnis des Beobachters 1 als Realteil einer komplexen Zahl und das Ergebnis des Beobachters 2 als Imaginärteil einer komplexen Zahl und nutzen die Euler'sche Formel:

gegen den Uhrzeigersinn: cos ω t + i sin ω t = e i ω t = e i + ω t im Uhrzeigersinn: cos ω t + i sin ω t = e i ω t = e i ω t

Die beiden Exponentialausdrücke auf der rechte Seite der Gleichung zeigen deutlich, dass in der Klammer des Exponenten zwei Informationen enthalten sind:

  • Das Vorzeichen der Kreisfrequenz legt den Drehsinn fest.
  • Die (eigentlich immer positive) Kreisfrequenz ist ω .

Es ist üblich, beide Informationen zur Aussage "positive Kreisfrequenz" bzw. "negative Kreisfrequenz" zusammenzufassen. Entsprechend, wegen ν = ω 2 π , spricht man auch von "positiven Frequenzen" bzw. "negativen Frequenzen".

Darstellung im Zeigerdiagramm

Der gegen den Uhrzeigersinn kreisende Punkt im x - y -Koordinatensystem ist ein reales Objekt. Seine Beschreibung durch den komplexen Ausdruck e i ω t ist zwar kompakt, aber wenig anschaulich.

Hier hilft ein kleiner Trick. Wir verlassen das reelle x - y -Koordinatensystem und gehen in die komplexe (Gauß'sche) Zahlenebene über. In ihr wird eine komplexe Zahl c = a + i b auf der horizontalen Achse a in Einheiten von 1 und auf der vertikalen Achse b in Einheiten von i dargestellt. c ist dann ein Punkt mit der Abzisse a und Ordinate b der komplexen Ebene. Für den kreisenden Punkt gilt also a = cos ω t und b = sin ω t .

Wir sehen nun den kreisenden Punkt als Endpunkt eines Zeigers an, der im Mittelpunkt des Kreises fixiert ist. Der Ausdruck e i ω t = cos ω t + i sin ω t gewinnt damit die anschauliche Bedeutung eines rotierenden Zeigers in der komplexen Zahlenebene. Für t = 0 liegt er auf der reellen Achse und weist nach rechts:

Abb.2
Die komplexe (Gauß'sche) Zahlenebene

Der gezeigte Zeiger c beschreibt den kreisenden Punkt und hat die Komponenten a = cos ω t und b = sin ω t . Auf der imaginären Achse wird der imaginäre Anteil Im c = b abgetragen und auf der reellen Achse der reelle Anteil Re c = a . Die Länge bzw. der Betrag des Zeigers entspricht c = a 2 + b 2 , der mit a = cos ω t und b = sin ω t konstant eins ist:

c = a 2 + b 2 = cos 2 ω t + sin 2 ω t = 1

Der Zeiger c stellt die geometrische Repräsentation von e i ω t dar.

Als Vektor interpretiert, hat die komplexe Zahl c = a + i b die Form c = a i b T , d.h. die Vektorkomponenten sind reell bzw. imaginär. Das Betragsquadrat einer komplexen Zahl ist gleich c c * . Dies ist das Skalarprodukt des Vektors c mit dem Vektor c * :

c c * = a i b a i b * = a i b a i b = a 2 i b 2 = a 2 + b 2

Die reelle Länge des Vektors c ist also gleich der Quadratwurzel von c c * . Er zeigt, immer ausgehend vom Ursprung der komplexen Zahlenebene, mit seiner Pfeilspitze auf den kreisenden Punkt. Dies ähnelt der Bewegung des Zeigers analoger Messinstrumente in der Technik. Es ist deswegen üblich, bei der Darstellung von e i ω t in der komplexen Ebene von einem Zeigerdiagramm zu sprechen.

Rotierender Vektor der makroskopischen Magnetisierung

Die Notierung der Kreisbewegung des Punktes in Form e i ω t ist keine mathematische Spielerei. Sie ist sehr nützlich zur kompakten Beschreibung der makroskopischen Magnetisierung im rotierenden Koordinatensystem und des resultierenden FID-Signals bei Quadraturdetektion.

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