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Tutorial MenueWellenoptikLerneinheit 3 von 23

Der Mehrfachspalt

Mehrfachspalt - Teil 2

Gegenüberstellung von Dreifachspalt und Doppelspalt

Diesen vorläufigen Beobachtungen am Dreifachspalt stellen wir nun diejenigen vom Doppelspalt gegenüber. Wir halten fest:

Bei steigender Spaltzahl N wächst die Intensität der Hauptmaxima quadratisch mit N , ihre Positionen auf dem Sichtschirm bleiben, verglichen mit denen beim Doppelspalt, gleich.

Dagegen rückt das jeweils erste Minimum neben einem Hauptmaximum mit steigender Spaltanzahl N zum Zentrum hin näher an dieses Hauptmaximum heran. War beim Doppelspalt das erste Minimum bei einer Phasendifferenz von Δ ϕ = π zwischen den Wellenzügen zu beobachten, so tritt es beim Dreifachspalt schon bei einer relativen Phasendifferenz von Δ ϕ = 2 3 π auf. Diese entspricht einem kleineren Gangunterschied und damit auch einem geringeren (Winkel-)Abstand zum jeweiligen Hauptmaximum. Die Hauptmaxima werden also mit steigender Spaltanzahl N zunehmend schärfer durch die ersten Minima neben diesen eingegrenzt. Bei einem optischen Gitter ist dieser Effekt so stark, dass die Hauptmaxima nur mehr als feine (Spektral-)Linien sichtbar werden!

Des Weiteren treten zwischen den Hauptmaxima Resthelligkeiten, so genannte Nebenmaxima auf.

Übergang zum Mehrfachspalt

Nach diesen qualitativen Betrachtungen des Dreifachspaltes wenden wir uns nun der quantitativen Berechnung des Intensitätsverlaufs hinter einem Mehrfachspalt (in der nachfolgenden Skizze für N = 5 gezeichnet) mit beliebiger Spaltanzahl N zu. Dafür wollen wir wieder ein Zeigerdiagramm benutzen.

Jede der jetzt N Amplituden habe wieder den Betrag A 0 . Wir betrachten den weit entfernten Sichtschirm unter einem Winkel α , unter dem sich die N (wieder in Fraunhofer`scher Näherung) parallelen Wellenzüge überlagern.

Abb.1
Relative Gangunterschiede der Wellenzüge beim Fünffachspalt
Herleitung der Formel des Intensitätsverlaufs hinter einem Mehrfachspalt
Der Gangunterschied zwischen je zwei benachbarten Wellenzügen errechnet sich dann wie zuvor zu Δ x = g sin α , also besitzen diese eine relative Phasendifferenz (!) von Δ ϕ = 2 π Δ x λ . Diese tragen wir nun als Winkel zwischen je zwei Zeigern in unser Diagramm ein.
Abb.2
Zeigerdiagramm (für N=5)
Den sich ergebenden Polygonzug P 0 , P ,..., P N ergänzen wir um den Kreis, auf dem alle P 0 , P ,..., P N liegen - es gibt genau einen! Dessen Mittelpunkt sei M , sein Radius r . Die uns interessierende resultierende Amplitude A r e s entspricht gerade der Länge der Verbindungsstrecke P 0 P N ¯ .
Aus dem Dreieck P 0 F M folgt nun sin ( N Δ ϕ 2 ) = A r e s 2 r .
Aus Dreieck P 0 P 1 M folgt sin Δ ϕ 2 = A 0 2 r .
Wir elimieren r und erhalten: A r e s = 2 r sin ( N Δ ϕ 2 ) = A 0 sin ( N Δ ϕ 2 ) sin Δ ϕ 2 ist die resultierende Amplitude in Abhängigkeit von der Phasendifferenz.
Die Intensität erhalten wir durch Quadrieren der resultierenden Amplitude: I ( Δ ϕ ) = I 0 ( sin ( N Δ ϕ 2 ) sin Δ ϕ 2 ) 2 ist die Intensitätsverteilung des Mehrfachspaltes in Abhängigkeit von der Phasendifferenz.
Wer möchte, kann die relative Phasendifferenz Δ ϕ auch durch den relativen Gangunterschied Δ x zwischen je zwei benachbarten Wellenzügen ausdrücken. Er setzt also Δ ϕ = 2 π Δ x λ ein und erhält: I ( Δ x ) = I 0 ( sin ( N π Δ x λ ) sin ( π Δ x λ ) ) 2
ist die Intensitätsverteilung des Mehrfachspaltes in Abhängigkeit vom Gangunterschied.

Anhand dieser Formel wollen wir noch einmal die für den Dreifachspalt erhaltenen Aussagen prüfen:

  • Für N Spalte sollte die Intensität in einem Hauptmaximum proportional zu N 2 sein.Dazu betrachten wir den Grenzwert für Δ ϕ 0 . In diesem Fall können wir den Sinus durch sein Argument ersetzen (Kleinwinkelnäherung) und erhalten: lim Δ ϕ 0 I 0 ( N Δ ϕ 2 Δ ϕ 2 ) 2 = I 0 N 2 .
  • Für wachsendes N rücken die einem Hauptmaximum benachbarten Minima näher an dieses heran und machen es durch engere Begrenzung schärfer.Der Nenner des Bruches der Formel für die Intensitätsverteilung (in Abhängigkeit von der relativen Phasendifferenz) hat seine Nullstellen bei Δ ϕ = 0 und Δ ϕ = 2 π . Dazwischen ist er stets ungleich Null. Der Zähler hingegen besitzt noch N 1 zusätzliche Nullstellen in diesem Intervall, und zwar bei Δ ϕ = 2 π z N für z = 1 , ..., N 1 .Also liegen zwischen zwei benachbarten Hauptmaxima noch N 1 Minima. Das erste liegt an der Stelle Δ ϕ = 2 π N , und für wachsendes N rückt es immer näher an Δ ϕ = 0 (Hauptmaximum) heran. Weiterhin gibt es zwischen je zwei Minima noch ein Nebenmaximum (Resthelligkeit), also insgesamt N 2 Nebenmaxima zwischen 2 Hauptmaxima.
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