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Tutorial MenueWellenoptikLerneinheit 12 von 23

Fresnel'sche Betrachtungsweise der Interferenz (Beugung)

Zonenplattenkonstruktion

Ein Beispiel für die Fresnel'sche Betrachtungsweise der Beugung: Fresnel'sche Zonenplattenkonstruktion bei einer kreisförmigen Öffnung

Wir betrachten eine ebene (Entfernung der Lichtquelle R ' = ) monochromatische Welle (Wellenlänge λ ), die auf eine kreisförmige Öffnung mit dem Radius r fällt. Diesen Fall haben wir an anderer Stelle bereits für die Fraunhofer'sche Betrachtungsweise diskutiert.

Hier aber soll der Sichtschirm, auf dem wir das Beugungsmuster beobachten, nicht weit von der beugenden Öffnung entfernt positioniert sein. Die hier auftretende Fresnelbeugung wollen wir uns speziell in einem Punkt P (Entfernung R ) betrachten, der im Schirmzentrum, also auf der durch die Mitte der kreisförmigen Öffnung verlaufenden Achse liegt, wie in folgender Abbildung dargestellt.

Abb.1
Fresnelbeugung an einer kreisförmigen Öffnung

Die gesamte Fläche der Öffnung stellen wir uns wieder von kohärenten, punktförmigen Huygens'schen Elementarwellenzentren ausgefüllt vor. Wellenzüge, die von verschiedenen Kreisringgebieten der Öffnung emittiert werden, weisen bei ihrer Überlagerung im Punkt P im Allgemeinen einen Laufweg- und damit einen Phasenunterschied auf.

Wir teilen nun die Öffnung so in Kreisringgebiete ein, dass die von zwei benachbarten Gebieten emittierten Wellenzüge jeweils einen Gangunterschied von Δ x = λ 2 aufweisen. Diese Kreisringgebiete nennt man Fresnel'sche Zonen. Dazu schlagen wir Kreise um den Punkt P, die die Radien R m = R + m λ 2 besitzen (für m=0,1,2,...). Die Schnittpunkte dieser Kreise mit der Öffnungsebene legen die begrenzenden Radien r m der einzelnen Kreisringgebiete (mit Flächen A m ) fest, wie in der nächsten Abbildung zu sehen (diese ist wegen λ R nicht maßstabsgetreu!).

Abb.2
Einteilung der beugenden Öffnung in Fresnel'sche Zonen (gezeichnet sind die ersten vier Zonen!)

Hierbei errechnet sich der begrenzende Radius r m der m-ten Fresnel'schen Zone A m zu: r m = R m 2 R 2 = ( R + m λ 2 ) 2 R 2 = m R λ + ( m λ 2 ) 2 In diesem Ausdruck können wir die quadratisch auftretende Wellenlänge λ wegen λ R vernachlässigen und erhalten somit: r m m R λ

Fresnel'sche Zonenradien r m
Der begrenzende Radius r m der m-ten Fresnel'schen Zone A m beträgt: r m m R λ

Die sich so ergebende Einteilung einer kreisrunden Öffnung finden Sie in der nächsten Abbildung dargestellt, in welcher die ersten vier Fresnel'schen Zonen eingezeichnet sind.

Abb.3
Fresnel'sche Zonen A m mit begrenzenden Radien r m

Nehmen wir einmal an, wir hätten unsere Öffnung mittels einer Blende verkleinert, deren Durchmesser gerade d = 2 r 2 beträgt. Dann würde lediglich durch die beiden ersten Fresnel'schen Zonen A 1 und A 2 hindurch Licht zu unserem Punkt P gelangen. Zu jedem Wellenzug, der dann von der ersten Fresnel'schen Zone A 1 emittiert würde, existerte in diesem Fall ein Wellenzug, der von der zweiten Fresnelzone A 2 mit einem relativen Gangunterschied von λ 2 zum ersten emittiert würde, so dass beide destruktiv im Punkt P interferieren. In P würde unter diesen Umständen Dunkelheit herrschen, da sich die Beiträge der ersten und zweiten Zone gegenseitig aufheben.

Hinweis
Dass sich die Beiträge zweier benachbarter Fresnel'scher Zonen exakt kompensieren liegt daran, dass deren Flächen A m bzw. A m + 1 gleich groß sind, wie man sich wie folgt überlegt: A m = π r m 2 π r m 1 2 = π ( m R λ ( m 1 ) R λ ) = π R λ Aus dieser Gleichung ersieht man, dass die Fläche der m-ten Fresnel'sche Zone unabhängig vom Parameter m ist.

Allgemein kompensieren sich so aufgrund der Zonenkonstruktion die Beiträge zweier direkt benachbarter Fresnelzonen.

Diese Eigenschaft macht man sich nun bei der Konstruktion einer so genannten Fresnel'schen Zonenplatte zu Nutze. Man blendet auf einer kreisförmigen durchsichtigen Platte jede zweite Fresnel'sche Zone (z.B. durch Aufbringen lichtundurchlässiger Substanzen) aus, deren Radien wie zuvor berechnet werden. So erreicht man, dass im Punkt P nur Wellenzüge eintreffen, die dort miteinander konstruktiv interferieren.

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