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Tutorial MenueWellenoptikLerneinheit 11 von 23

Beugung an kreisförmigen Öffnungen

Auflösungsbegrenzung durch Beugung

Auflösungsbegrenzung durch Beugung an kreisförmigen Öffnungen

Jeder Lichtpunkt eines räumlich ausgedehnten leuchtenden Objekts (räumlich inkohärent), welches durch eine Linse (beugende kreisrunde Öffnung) abgebildet ist, wird aufgrund der Beugung als ein Airy-Scheibchen auf dem zugehörigen Sichtschirm sichtbar, wie wir im vorherigen Abschnitt gesehen haben.

Liegen zwei einzelne Lichtpunkte zu dicht beieinander, so überlappen sich deren Airy-Scheibchen, was im Extremfall dazu führen kann, dass man diese nicht mehr als getrennte Punkte wahrnehmen kann. Man sagt dazu auch, dass die Punkte nicht mehr aufgelöst werden können.

Wir betrachten nun zwei inkohärente (s.o.) Punktlichtquellen P1 und P2 (Wellenlänge λ ), die durch eine Linse (Durchmesser d ) auf einen Sichtschirm abgebildet werden, wie in der Skizze zu sehen.

Abb.1
Zur Herleitung der Auflösungsbedingung

Die beiden Punkte besitzen einen Abstand s voneinander und befinden sich beide in einer Gegenstandsweite g von der Linse. Die Mittelpunktstrahlen der beiden Punkte bilden einen Winkel α miteinander, der sich aus der Beziehung tan α = s g ergibt.

Das so genannte Rayleigh'sche Auflösungskriterium besagt, dass zwei solche Punkte noch genau dann auflösbar sind, wenn auf dem Sichtschirm die Mitte des einen Beugungsscheibchens (in der Skizze rot, das zu P2 gehörende) gerade auf den Rand, d.h. das erste Minimum des anderen (in der Skizze blau, das zu P1 gehörende) fällt.

Wir wissen bereits, dass das erste Minimum des zentralen Beugungsscheibchens (blau) unter einem Winkel α 0 auf dem Sichtschirm liegt, der aus der Beziehung sin α 0 = 0,61 λ d 2 = 1,22 λ d folgt. Aufgrund der in diesen Fällen meist anwendbaren Kleinwinkelnäherung gilt also α 0 = 1,22 λ d .

Die Erfüllung des Rayleigh'schen Auflösungskriteriums fordert also, dass der Winkel α zwischen den Punkten P1 und P2 mindestens so groß ist wie der besagte Winkel α 0 , der das Airy-Scheibchen von P1 auf dem Sichtschirm begrenzt.

Hieraus folgt, dass für den Winkel α (und damit bei fester Gegenstandsweite g für den Abstand s zwischen beiden Punkten) gelten muss: α α 0 α 1,22 λ d Der kleinste Winkel α min , für den man die beiden Punkte noch auflösen kann, legt die so genannte Auflösungsgrenze des verwendeten optischen Systems fest.

Auflösungsvermögen Θ eines optischen Systems
Das Auflösungsvermögen Θ eines optischen Systems ist als Kehrbruch des Auflösungsgrenzwinkels α min definiert: Θ = 1 α min
Erhöhung des Auflösungsvermögens durch Vergrößerung der beugenden Öffnung
Möchte man z.B. zwei eng nebeneinander stehende Sterne mit einem Teleskop auflösen, so lässt sich deren Gegenstandsweite g und Abstand s , also deren Winkelabstand α , aus naheliegenden Gründen nicht beeinflussen.
Um also das Auflösungsvermögen des Teleskops zu erhöhen, ist es notwendig, den Durchmesser von dessen beugender Öffnung (Linse, bzw. Spiegel) zu vergrößern. Bei Linsen setzt hier das Linsenmaterial eine Grenze bei einem Durchmesser von etwa zwei Metern. Ab dieser Größe sind Linsen so schwer, dass sie aufgrund der amorphen Struktur von Glas zu fließen beginnen. Aber auch Spiegelteleskope lassen sich nicht beliebig groß realisieren, die größten besitzen Spiegeldurchmesser von etwa acht Metern.
Abhilfe schafft man in der Radioastronomie (Achtung: Radiowellen, beachte nächste Bemerkung!) dadurch, dass man mehrere Teleskope mit den begrenzten Durchmessern auf langen Grundstrecken über moderne Großrechner passend zusammenschaltet. Als beugende Öffnungen wirken durch dieses Setting die größten Entfernungen zwischen den Teleskopen. Beim VLA (Very Large Array in Neu-Mexiko) beträgt diese Entfernung etwa 36 km. Werden solche Stationen auf verschiedenen Kontinenten zusammengeschaltet, ergeben sich effektive Spiegeldurchmesser von tausenden von Kilometern! Eine gute Idee, der Beugung auf diese Art die Stirn zu bieten und trotz deren Vorhandensein immer höhere Auflösungen zu erhalten. Natürlich sind diese auch hier begrenzt, da unsere Erde nicht unendlich groß ist.
Erhöhung des Auflösungsvermögens durch Verringerung der benutzten Wellenlänge
Natürlich ändert sich das Auflösungsvermögen auch in Abhängigkeit von der verwendeten Wellenlänge, wie aus obiger Ungleichung ersichtlich.
Man kann also zur Erhöhung des Auflösungsvermögens auch zur Benutzung kleinerer Wellenlängen übergehen.Beispiel hierfür ist das Rasterelektronenmikroskop. Die korrespondierenden Wellenlängen der Elektronen sind kleiner als die des sichbaren Lichtes. Bei einer Beschleunigungsspannung von U = 200 V beträgt die Wellenlänge eines Elektrons λ = 0,00251 nm im Vergleich zu sichtbaren Wellenlängen von λ 500 nm (Lichtmikroskop).
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