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Tutorial MenueWellenoptikLerneinheit 7 von 23

Vom geometrischen Gangunterschied zur optischen Weglängendifferenz

Optische Wegdifferenz - Begriffsfestlegung

Bei den Betrachtungen zum Young`schen Doppelspalt, der Einfachspaltbeugung oder auch bei der Mehrfachspaltinterferenz haben wir stets die Phasendifferenz Δ ϕ zwischen interferierenden Wellenzügen über ihren geometrischen Gangunterschied Δ x bestimmt.

Diese Vorgehensweise ist jedoch ein vereinfachter Spezialfall eines allgemeineren Konzepts zur Bestimmung der Phasendifferenz zwischen Wellenzügen, wie wir im Folgenden sehen werden.

Um es kurz vorweg zu nehmen: In den bisher erwähnten Fällen liefen die verschiedenen Wellenzüge alle durch dasselbe Medium, nämlich durch Luft (Brechzahl n 1 ). Das muss nicht immer der Fall sein...

Ein ungleiches Wettrennen

Stellen Sie sich vor, Sie veranstalten mit einem Freund, der bisher immer annähernd genauso schnell war wie Sie selbst, ein Wettrennen durch Wald und Flur. Dieses soll eine endgültige Entscheidung bringen, wer denn nun von Ihnen beiden der schnellere Läufer ist. Damit es fair zugeht, haben Sie zwei nebeneinander verlaufende Waldwege als Rennstrecken ausgesucht, die exakt gleich lang sind.

Sie ahnten bereits, dass es ein hartes Rennen werden würde - gleich von Beginn des Rennens an liegen Sie Kopf an Kopf mit ihrem Freund. Nach einer Kurve jedoch sinken Sie auf Ihrem Weg plötzlich bis zu den Waden im Schlamm ein, was Sie einer Rotte sich an dieser Stelle noch vor kurzem suhlender Wildschweine zu verdanken haben!!!

Sie bemühen sich, ihre Schrittfrequenz beizubehalten, jedoch werden ihre Schritte im Schlamm deutlich kürzer, weswegen ihr Freund, der unbehindert mit gleichbleibender Geschwindigkeit weiterläuft, die Führung übernimmt. Nach einigen Metern kommen Sie wieder aus dem Schlamm heraus, ihre Schrittweite nimmt wieder auf ihre ursprüngliche Größe zu. Ihr Freund behält jedoch seinen Vorsprung bis zum Ziel und gewinnt somit das Rennen...

Das Konzept der optischen Weglänge

Betrachten wir zwei Wellenzüge gleicher Frequenz ν (mit Vakuumwellenlänge λ 0 ), die von den Quellen Q1 und Q2 im Vakuum (Brechzahl n = 1 , Lichtausbreitungsgeschwindigkeit im Vakuum c 0 ) ausgesandt werden (s. folgende Abbildung). Die Quellen seien beide gleich weit vom Überlagerungspunkt Z entfernt. Der geometrische Gangunterschied Δ x zwischen beiden Wellen ist also gleich null (Vergleichen Sie dies mit der Ausgangssituation des zuvor erwähnten Wettrennens!). Würden wir nur den Gangunterschied betrachten, so würden wir erwarten, dass beide Wellenzüge im Punkt Z gleichphasig eintreffen, dort also konstruktiv interferieren - ebenso wie Sie ein gleichzeitiges Ankommen mit Ihrem Freund im Ziel aufgrund der gleichen Streckenlängen sowie Geschwindigkeiten vermuteten.

Abb.1
Ein ungleiches Wettrennen zwischen zwei Wellenzügen

Jedoch hat der erste Wellenzug auf seinem Weg ein Hindernis zu durchqueren (die Wildschweinsuhle), wie z.B. eine Glasplatte der Dicke d (mit Brechzahl n = 1,5 ).

Dabei ergeht es der Welle genau wie Ihnen zuvor: Ihre Ausbreitungsgeschwindigkeit c im Medium ist kleiner als ihre Vakuumlichtgeschwindigkeit c 0 (Brechung von Lichtstrahlen!). Dabei wurde die Brechzahl n eines Mediums gerade als Verhältnis dieser beiden Geschwindigkeiten definiert: n = c 0 c Für alle harmonischen Wellen gilt aber nach wie vor die Gleichung: c = λ ν Damit diese nach dem Übergang ins Medium weiterhin erfüllt ist, muss sich die Wellenlänge der Welle ändern, da sich die Frequenz ν einer Welle bei diesem Vorgang nicht ändert (es handelt sich submikroskopisch betrachtet um einen elastischen Streuprozess). Würde sich stattdessen die Frequenz ändern, so würde z.B. ein grüner Lichtstrahl bei einem Verlauf in Glas eine andere Farbe als beim Verlauf in Luft aufweisen, was nicht unseren Beobachtungen entspricht (Die Frequenz macht die Farbe!). In unserem Fall ist n > 1 , und daher: 1 < n = c 0 c = λ 0 ν λ ' ν = λ 0 λ '

Theorem
Die Wellenlänge λ ' innerhalb eines Mediums ist also kleiner als die Vakuumwellenlänge λ 0 (ebenso wie zuvor beim Wettrennen Ihre Schrittweite im Schlamm kleiner wurde).

In der Skizze besitzt das Medium gerade eine Dicke von d = 1 λ 0 .

Ohne Vorhandensein des Mediums hätte auf diese Streckenlänge eine Anzahl m von m = d λ 0 = λ 0 λ 0 = 1 Vakuumwellenlängen λ 0 gepasst.

Mit vorhandenem Medium entfallen auf diese Strecke dann eine Anzahl m ' von m ' = d λ ' = λ 0 λ ' = n = 1,5 Wellenlängen λ ' .

Daher resultiert letztendlich im Punkt Z ein Phasenunterschied von einer halben Wellenlänge zwischen den beiden Wellen, der zu einer destruktiven Interferenz zwischen diesen führt, obwohl deren geometrischer Gangunterschied Δ x gleich null ist.

Herleitung des Begriffs der optischen Weglänge
Anstatt nun im Folgenden bei unseren Rechnungen stets zwei verschiedene Wellenlängen für einen Strahl innerhalb bzw. außerhalb eines Mediums zu betrachten, bedienen wir uns eines Kunstgriffs: Die Anzahl m der Wellenlängen im Medium lässt sich nämlich auch durch die ursprüngliche Vakuumwellenlänge λ 0 zusammen mit der Brechzahl n ausdrücken: m = d λ ' = d n λ 0 Dies können wir jetzt wie folgt interpretieren:
Um auf die gleiche Phasendifferenz zwischen beiden Wellenzügen zu kommen, können wir genauso gut theoretisch annehmen, dass unsere ursprüngliche Welle der Wellenlänge λ 0 zwischen den Punkten P und Q effektiv einen Weg durch ein Vakuum der Länge d ' = d n zurückgelegt hat.
Der Brechzahlunterschied des Mediums (mit resultierender Änderung der Wellenlänge) wird also beim Rechnen durch einen gedachten Umweg durch ein Vakuum ersetzt.

Dies führt uns direkt zur Definition der optischen Weglänge.

Die optische Weglänge Λ
Die optische Weglänge Λ in einem Medium der Brechzahl n ist gleich dem Produkt aus Brechzahl und der im Medium zurückgelegten geometrischen Weglänge s : Λ = s n

Mit dieser Definition können wir kurz zusammenfassen, dass wir im allgemeinen Fall lediglich den bekannten geometrischen Gangunterschied Δ x durch die optische Weglängendifferenz Δ Λ ersetzen müssen, um im Anschluss aus dieser die zwischen beiden Wellen resultierende Phasendifferenz Δ ϕ zu ermitteln: Δ ϕ = 2 π λ 0 Δ Λ = k 0 Δ Λ Dabei ist k 0 = 2 π λ 0 die so genannte Wellenzahl einer Welle.

Theorem
Grundsätzlich gilt:
Gleiche optische Weglängen werden von einem Wellenzug in gleichen Zeiten durchlaufen.
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