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Tutorial MenueMechanische WellenLerneinheit 1 von 6

Grundlagen der Wellenlehre

Mathematische Betrachtung der Wellenausbreitung

Nachdem wir bereits verschiedene grafische Möglichkeiten zur Darstellung von Wellen gefunden haben, wollen wir nun eine mathematische Beschreibung kennen lernen und damit weitere Größen zur Beschreibung von Wellen ableiten.

Zur vereinfachten mathematischen Behandlung beschränken wir uns wieder auf einen besonderen Typus Wellen, die harmonischen Wellen. Diese lassen sich analog zu den harmonischen Schwingungen durch Sinus-, Kosinus- oder Exponentialfunktionen beschreiben.

Abb.1

Die Position des ersten abgebildeten Teilchens bei z = 0 lässt sich bei einer nach rechts laufenden eindimensionalen Welle z.B. durch die folgende Funktion beschreiben

0. Teilchen: ψ 0 = A cos ( ω t )

Wie wir mit Hilfe des Projektes "Rotierende Zeiger" gesehen haben, gehorchen die anderen Teilchen des Mediums derselben Grundfunktion - nur eben zeitversetzt. Dies lässt sich durch einen zusätzlichen Summanden im Argument des Kosinus mathematisch ausdrücken. Für die übrigen Teilchen können wir also schreiben:

1. Teilchen: ψ 1 = A cos ( ω t δ 1 )

2. Teilchen: ψ 2 = A cos ( ω t δ 2 )

3. Teilchen: ψ 3 = A cos ( ω t δ 3 )

n. Teilchen: ψ n = A cos ( ω t δ n )

Jedes der Teilchen führt also für sich eine harmonische Schwingung mit der Kreisfrequenz aus. Dabei gibt es eine Phasenverschiebung von δ bezogen auf das 0. Teilchen. Formulieren wir den Phasenwinkel in Abhängigkeit der horizontalen Position z , so gilt der Zusammenhang:

δ = k z

mit einer Proportionalitätskonstante k , deren Größe dadurch bestimmt ist, dass für z = λ die Welle wieder die gleiche Auslenkung hat, so dass δ = 2 π ist. Damit definiert man die Wellenzahl k .

Wellenzahl
Die Wellenzahl k einer Welle mit der Wellenlänge λ berechnet sich folgendermaßen:
k = 2 π λ
Allgemeine Form einer eindimensionalen harmonischen Welle
Die Wellenfunktion an einer Stelle z lautet damit
ψ = A cos ( ω t k z )
oder in komplexer Schreibweise (gemäß den im Schwingungskapitel vorgestellten Äquivalenzen) ψ = A e i ( ω t k z ) .
Phasengeschwindigkeit
Um die Geschwindigkeit zu berechnen, mit der sich die Welle ausbreitet, setzen wir für das Argument ϕ = ω t k z des Kosinus auf eine Konstante.
ω t k z = const .
Dies bedeutet anschaulich, dass wir einem Phasenzustand (Auslenkungszustand) auf der Welle folgen, indem wir die Phase konstant lassen. Daher wird diese Geschwindigkeit auch Phasengeschwindigkeit c Ph der Welle genannt. Für sie gilt:
c Ph = d z d t = d dt ω t const . k = ω k = 2 π ν λ 2 π = λ ν .
Phasengeschwindigkeit einer Welle
Die Phasengeschwindigkeit c Ph einer Welle ergibt sich aus der Wellenlänge λ und der Frequenz ν durch den Zusammenhang c Ph = λ ν .

Die gefundenen Gleichungen lassen sich auch für mehrdimensionale Fälle verallgemeinern.

Energieübertragung durch eine harmonische Welle

Wir betrachten eines der Teilchen von oben, welches nun eine Masse m besitzen soll. Die sich im Raum ausbreitende Welle überträgt Energie auf dieses Teilchen. Diese wollen wir im Folgenden berechnen.

Unser Teilchen der Masse m führt während der Wellenbewegung an seinem festen Ort eine transversale harmonische Schwingung ψ = A cos ( ω t ) durch. Es besitzt dabei eine kinetische Energie E kin = m 2 v 2 = m 2 ( d dt ψ ) 2 und potenzielle Energie E pot . Diese erhalten wir dadurch, dass wir die Rückstellkraft proportional zu seiner Auslenkung ansetzen, da es sich ja um eine harmonische Schwingung handelt. Es ist dann E pot = q 2 ψ 2 , mit q = m ω 2 .

E ges = E kin + E pot = m 2 ( d dt ψ ) 2 + q 2 ψ 2 = m 2 ( A ω sin ( ω t ) ) 2 + q 2 ( A cos ( ω t ) ) 2
E ges = m 2 A 2 ω 2 ( sin ( ω t ) ) 2 + q 2 A 2 ( cos ( ω t ) ) 2 = m 2 ω 2 A 2
Energieübertragung einer harmonischen Welle
Die Gesamtenergie, die auf ein Teilchen von einer harmonischen Welle übertragen wird, ist proportional zum Amplitudenquadrat.
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