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Tutorial MenueMechanische WellenLerneinheit 2 von 6

Dopplereffekt, Machkegel und Überschall

Lösungen

1. Aufgabe

a) Die Machzahl ist M = u c = 2,5 Den halben Öffnungswinkel berechnet man mit sin β = c u = 1 2,5 zu β = 23,6 ° Damit ist der gesamte Öffnungswinkel α = 47,2 °

b) Der Knall erreicht den Boden im Winkel γ über der Horizontalen. Mit der Flughöhe h und dem horizontalen Abstand vom Beobachter zum Ort direkt unter dem Flugzeug folgt tan γ = h x und damit x = h tan γ = 11,5km . Beim Hören des Knalls hat das Flugzeug eine Strecke von 11,5 km zurückgelegt.

2. Aufgabe

Für die Wellenlängenänderung gilt nach der zugehörigen Doppler-Formel:

λ E = c u E ν S = 340 m s 34 m s 400 1 s = 0,765 m.

Für die empfangene Frequenz gilt somit ν E = c λ E = 340 m s 0,765 m = 440 Hz . Die registrierte Frequenz ist 440 Hz .

Hier ist die anschauliche Argumentation zur Lösung der Aufgabe:

Da der Empfänger sich mit 10 % der Schallgeschwindigkeit dem Sender nähert, hat er nicht nur so viele Wellenberge gequert, wie der Sender in dieser Zeit ausstrahlt, sondern noch 10 % mehr. Dadurch ändert sich die Frequenz auch um 10 %.

3. Aufgabe

a) Die gesuchte Frequenz berechnet sich folgendermaßen:

ν = u λ = 8,9 m s 15 m = 0,593 Hz.

Die Wellenfrequenz am Boot ist 0,593 Hz .

b) Die Geschwindigkeit der Wellen relativ zum Boot ist 15 m s + 8,9 m s = 23,9 m s . Die Wellenlänge ist konstant 15 m ; sie ändert sich nicht durch die Bewegung des Bootes. Also ist die Frequenz: ν = u λ = 23,9 m s 15 m = 1,59 Hz . Das Boot registriert die Frequenz 1,59 Hz .

4. Aufgabe

Mit der Doppler-Formel ν E = ν S 1 1 + u c ergibt sich für die Geschwindigkeit der Stimmgabel u = ν S ν E -1 c = 37,8 m s . Die Stimmgabel befindet sich im freien Fall. Daher wird die Geschwindigkeit in der Zeit t 1 = u g = 3,85 s erreicht. In dieser Zeit legt die Stimmgabel die Strecke s = 1 2 g t 1 2 = 72,7 m zurück. Bis der Schall oben wieder ankommt, vergeht die Zeit t 2 = 72,7 m 340 m s = 0,21 s . Die gesuchte Frequenz wird 4,06 s nach dem Loslassen registriert. In dieser Zeit ist die Stimmgabel 81 m tief gefallen.

5. Aufgabe

Gehen wir vom Empfänger aus. Der Empfänger empfängt vom Sender, den wir vorerst als ruhend annehmen, nach der Dopplerformel die Wellenlänge

λ E = λ S ( 1 u S c ) .

Da der Sender sich aber dem Empfänger nähert, ist die gesendete Wellenlänge λ S die empfangene Frequenz aus der Dopplerformel für ruhenden Empfänger und bewegten Sender λ E = λ S 1 ± u E c .

Setzt man in der ersten Gleichung für λ S die zweite Gleichung für λ E ein, so erhält man

λ E = λ S 1 u S c 1 ± u E c .

Für die Frequenz argumentiert man analog. Man setzt in der Doppler-Gleichung für bewegten Empfänger und ruhenden Sender für die gesendete Frequenz ν S die in der Doppler-Gleichung für ruhenden Empfänger und bewegten Sender empfangene Frequenz ν E ein. Man erhält dann direkt: ν E = ν S 1 ± u E c 1 u S c .

6. Aufgabe

a)

Man muss hierbei beachten, dass die roten Blutkörperchen zunächst bewegte Empfänger sind.

Das rote Blutkörperchen empfängt also die Frequenz:

f RBK = c + u λ = c + u c f S = f S c + u c .

Das rote Blutkörperchen bewegt sich bei der Streuung weiter. damit handelt es sich um einen bewegten Sender. Der Empfänger registriert die Frequenz:

f E = c λ u T = c c f RBK u f RBK = f RBK c c u .

Setzt man nun die erste in die zweite Gleichung ein, so ergibt sich

f E = f S c + u c c c u = f S c + u c u .

Der Unterschied zwischen der gesendeten und der empfangenen Frequenz ist

Δ f = f E f S = f S c + u c u f S = f S ( c + u c u 1 )
= f S ( ( c + u ) ( c u ) c u ) = f S 2 u c u .

Um zum Endergebnis zu kommen, nähert man nun. Da die Geschwindigkeiten der roten Blutkörperchen sehr klein sind im Vergleich zur Schallgeschwindigkeit, kann man im Nenner c u durch c ersetzen und erhält dann als Lösung für die Frequenzverschiebung

Δ f = f S 2 u c .

Die Fließgeschwindigkeit der roten Blutkörperchen erhält man, indem man die obige Gleichung auflöst zu u = Δ f 2 f S c.

b)

Durch einen Winkel α , den das Messgerät mit den Blutbahnen einschließt, ändert sich an der Rechnung selbst nichts. Man ersetzt nur die auftretenden Geschwindigkeiten u durch die Projektion in die Ebene, also durch u cos α . Für die Frequenzänderung erhält man dann

Δ f = f S 2 u cos α c .

Und für die Fließgeschwindigkeit erhält man durch Auflösen der obigen Gleichung

u = Δ f 2 f S c cos α .
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