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Tutorial MenueSchwingungslehreLerneinheit 3 von 7

Harmonische Schwingungen

Analyse einer Federschwingung

Wir betrachten nochmals das Modell des Federschwingers aus dem Dynamik-Kapitel. Diesmal wollen wir unser verstärktes Augenmerk auf den bei der Schwingung entstehenden Ort-Zeit-Graphen richten.

Arbeitsauftrag

Starten Sie noch einmal das Projekt und geben Sie eine Erklärung für den oszillierenden Verlauf der Bewegung.

Abb.1
JPAKMA-Projekt "Federpendel"

Um das Medienelement zu starten, klicken Sie bitte auf das Bild. Daraufhin öffnet sich ein neues Fenster. Bevor Sie die Animation benutzen können, müssen Sie den Play-Knopf (oben, blaues Dreieck) aktivieren.

Lösung

Wir erhalten für die Orts-, Geschwindigkeits- und Beschleunigungskurve jeweils einen der Sinus- bzw. Kosinusfunktion ähnlichen Graphen. Um die Vermutung zu überprüfen, dass es sich dabei tatsächlich um eine der erwähnten Kreisfunktionen handelt, wollen wir im Folgenden über eine formale Herleitung eine mathematische Beschreibung der Ortskurve gewinnen.

Eine Beschleunigung a ergibt sich bei einer angreifenden Kraft F und konstanter Masse m nach dem zweiten Newton'schen Gesetz zu:

a = F m F = m a

Da die Beschleunigung a ( t ) = d 2 s d t 2 ist, folgt:

F = m d 2 s d t 2

Bei der Federschwingung ist die am Schwingungskörper angreifende Kraft F die Rückstellkraft der Feder, für die das Hooke'sche Gesetz gilt:

F = D s

Somit gilt:

D s = m d 2 s d t 2 s ¨ + D m s = 0

Damit haben wir eine Differenzialgleichung zweiter Ordnung (allgemeine Form: s ¨ + k s = 0 , k > 0 ), für die es verschiedene Lösungsmethoden gibt. Da wir aber bereits eine Vermutung für die Lösungsfunktion haben, können wir die Differentialgleichung auch alternativ durch Einsetzen einer erratenen Funktion A cos ( ω t + ϕ ) (allgemeinste Form der Kosinusfunktion) lösen. Für die Ortsfunktion s ( t ) , die Geschwindigkeitsfunktion v ( t ) und die Beschleunigungsfunktion a ( t ) ergeben sich:

s ( t ) = A cos ( ω t + ϕ ) v ( t ) = d s d t = -A ω sin ( ω t + ϕ ) a ( t ) = d 2 s d t 2 = A ω 2 cos ( ω t + ϕ )

Eingesetzt in obige Differenzialgleichung erhält man:

m ω 2 A cos ( ω t + ϕ ) = D A cos ( ω t + ϕ )

Teilt man beide Seiten der Gleichung durch A cos ( ω t + ϕ ) , so erhält man:

m ω 2 = D

Die Differenzialgleichung wird also tatsächlich von der Funktion s ( t ) = A cos ( ω t + ϕ ) gelöst. Dabei muss für die Kreisfrequenz ω der Schwingung gelten:

ω = D m

Für die Schwingungsdauer T ergibt sich daraus:

T = 2 π m D

Wir erhalten also bis auf Streckung und Verschiebung der normalen Kosinusfunktion verwandte Funktionen als Lösungen der Ortsfunktion s ( t ) , der Geschwindigkeitsfunktion v ( t ) und der Beschleunigungsfunktion a ( t ) .

Trotz der Vielfalt an möglichen Schwingungen tritt der Fall einer zur Auslenkungstrecke proportionalen rücktreibenden Kraft besonders häufig auf oder aber die Schwingung lässt sich zumindest näherungsweise so beschreiben. Die sich ergebende Lösung der Differentialgleichung hat ebenfalls die allgemeine Form A cos ( ω t + ϕ ) und muss dann je nach Anfangsbedingungen noch mit Hilfe der Parameter Amplitude A , Winkelgeschwindigkeit ω und Phase ϕ angepassst werden.

Anmerkung

In der Literatur werden verschiedene mathematische Darstellungen für einen harmonischen Schwinger gebraucht. Mit der folgenden Aufstellung haben Sie die Möglichkeit, diese ineinander zu überführen und so die Äquivalenz der Darstellungen zu zeigen.

  1. y ( t ) = A sin ( ω t + ϕ ) Wir haben bisher die Darstellung als Sinusfunktion mit Amplitude A , Kreisfrequenz ω und mit Phase ϕ verwendet.
  2. y ( t ) = A cos ( ω t + ϕ 2 ) Die zweite Darstellungsform lässt sich in die erste Darstellungsform überführen, wenn man ϕ = ϕ 2 π 2 setzt.
  3. y ( t ) = C 1 cos ( ω t ) + C 2 sin ( ω t ) Die dritte Darstellungsform lässt sich in die zweite Darstellungsform überführen mit der Wahl von C 1 = A cos ( ϕ 2 ) und C 2 = A sin ( ϕ 2 ) .
  4. y ( t ) = c e i ( ω t ) + c * e i ( ω t ) Die vierte Darstellungsform lässt sich in die dritte Darstellungsform überführen mit der Wahl von C = C 1 2 C 2 2 i und C * = C 1 2 + C 2 2 i .
  5. y ( t ) = | c | [ e i ( ω t + ϕ 2 ) + e i ( ω t + ϕ 2 ) ] Die fünfte Darstellungsform lässt sich in die vierte Darstellungsform überführen mit der Wahl von tan ( ϕ 2 ) = C C * C + C * . Für A = 2 | C | und ϕ = ϕ 2 + π 2 erhält man diese fünfte Darstellung aus der ersten. Somit ist gezeigt, dass alle fünf Darstellungsarten gleichwertig sind.
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